Consideremos vetores i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1) no espaço. Determine u e v se u+2 v=3 i-k e 3 u-v=i+j+k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os vetores e que satisfazem as equações e . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas de equações lineares com vetores. Precisamos entender como manipular essas equações para encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações que temos:
u + 2v = 3i - k
3u - v = i + j + k
Aqui, i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1) , e são os vetores da base canônica no espaço tridimensional, ou seja:

Passo 3

Vamos expressar os vetores u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) em termos de suas componentes. Seja:
Agora, substituímos esses nas equações dadas.

Passo 4

Substituindo na primeira equação:
(u1, u2, u3) + 2(v1, v2, v3) = (3, 0, -1)
Isso nos dá:
u1 + 2v1 = 3 (1)
u2 + 2v2 = 0 (2)
u3 + 2v3 = -1 (3)
Fazendo o mesmo para a segunda equação:
3(u1, u2, u3) - (v1, v2, v3) = (1, 1, 1)
E isso resulta em:
3u1 - v1 = 1 (4)
3u2 - v2 = 1 (5)
3u3 - v3 = 1 (6)

Passo 5

Agora temos um sistema de 6 equações com 6 incógnitas. Vamos resolver começando pelas componentes 3(3 - 2v1) - v1 = 1 e 9 - 6v1 - v1 = 1 :
Da equação (1): -7v1 = -8 implies v1 = 87
Substituindo na equação (4):
3(-2v2) - v2 = 1
-6v2 - v2 = 1
-7v2 = 1 implies v2 = -17
Então, 3(-1 - 2v3) - v3 = 1
Fazendo o mesmo para -3 - 6v3 - v3 = 1 e -7v3 = 4 implies v3 = -47 :
Da equação (2):
Substituindo na equação (5):
Então,
Para e :
Da equação (3):
Substituindo na equação (6):
Então,

Resposta

Os vetores são:
u = ( 57, 27, 17 ) e v = ( 87, -17, -47 )

Exercícios relacionados