Obtenha equações paramétricas dos planos:
a)
b) ;
c)
d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer encontrar as equações paramétricas de vários planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como transformar a equação geral de um plano em uma forma que envolva parâmetros. Vamos usar um pouquinho de álgebra e geometria vetorial para isso.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): .
Primeiro, vamos resolver a equação para uma das variáveis. Vou resolver para :
Agora, para escrever as equações paramétricas, vamos escolher dois parâmetros, geralmente e , que vão representar as variações em e . Assim, podemos deixar e . Substituindo na equação de :
Então, as equações paramétricas ficam:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b): .
Novamente, vamos resolver para uma das variáveis. Vamos escolher :
Como não está presente na equação, isso significa que pode ser qualquer valor. Vamos usar e como parâmetros, deixando e . Substituindo na equação de :
Então, as equações paramétricas são:
Passo 4
Vamos para a parte c): .
Essa equação é mais simples. Ela nos diz que sempre. Isso significa que qualquer ponto no plano tem fixo em 3, e e podem variar livremente. Vamos usar e para e :
Passo 5
Por fim, a parte d): .
Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo, para :
Aqui, pode ser qualquer valor, então vamos deixar e . Substituindo na equação de :