Obtenha equações paramétricas dos planos:
a) 4 x+2 y-z+5=0
b) 5 x-y-1=0;
c) z-3=0 ;
d) y-z-2=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer encontrar as equações paramétricas de vários planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como transformar a equação geral de um plano em uma forma que envolva parâmetros. Vamos usar um pouquinho de álgebra e geometria vetorial para isso.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): z = 4x + 2y + 5 .
Primeiro, vamos resolver a equação para uma das variáveis. Vou resolver para z = 4s + 2t + 5 :
x = s y = t z = 4s + 2t + 5
Agora, para escrever as equações paramétricas, vamos escolher dois parâmetros, geralmente e , que vão representar as variações em e . Assim, podemos deixar e . Substituindo na equação de :
Então, as equações paramétricas ficam:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): y = 5x - 1 .
Novamente, vamos resolver para uma das variáveis. Vamos escolher y = 5s - 1 :
x = s y = 5s - 1 z = t
Como não está presente na equação, isso significa que pode ser qualquer valor. Vamos usar e como parâmetros, deixando e . Substituindo na equação de :
Então, as equações paramétricas são:

Passo 4

Vamos para a parte c): x = s y = t z = 3 .
Essa equação é mais simples. Ela nos diz que sempre. Isso significa que qualquer ponto no plano tem fixo em 3, e e podem variar livremente. Vamos usar e para e :

Passo 5

Por fim, a parte d): y = z + 2 .
Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo, para y = t + 2 :
x = s y = t + 2 z = t
Aqui, pode ser qualquer valor, então vamos deixar e . Substituindo na equação de :
Assim, as equações paramétricas ficam:

Resposta

As equações paramétricas dos planos são:
a)
x = s y = t z = 4s + 2t + 5
b)
x = s y = 5s - 1 z = t
c)
x = s y = t z = 3
d)
x = s y = t + 2 z = t

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