Obtenha equações paramétricas dos planos:
a)
b) ;
c)
d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer encontrar as equações paramétricas de vários planos no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender como transformar a equação geral de um plano em uma forma que envolva parâmetros. Vamos usar um pouquinho de álgebra e geometria vetorial para isso.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): .
Primeiro, vamos resolver a equação para uma das variáveis. Vou resolver para :
Agora, para escrever as equações paramétricas, vamos escolher dois parâmetros, geralmente e , que vão representar as variações em e . Assim, podemos deixar e . Substituindo na equação de :
Então, as equações paramétricas ficam:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): .
Novamente, vamos resolver para uma das variáveis. Vamos escolher :
Como não está presente na equação, isso significa que pode ser qualquer valor. Vamos usar e como parâmetros, deixando e . Substituindo na equação de :
Então, as equações paramétricas são:

Passo 4

Vamos para a parte c): .
Essa equação é mais simples. Ela nos diz que sempre. Isso significa que qualquer ponto no plano tem fixo em 3, e e podem variar livremente. Vamos usar e para e :

Passo 5

Por fim, a parte d): .
Vamos resolver para uma das variáveis, por exemplo, para :
Aqui, pode ser qualquer valor, então vamos deixar e . Substituindo na equação de :
Assim, as equações paramétricas ficam:

Resposta

As equações paramétricas dos planos são:
a)
b)
c)
d)

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Este problema, adaptado de (KOLMAN; HILL, 2011), envolve o uso de pesticidas, os quais são substâncias químicas usadas para repelir, destruir e controlar pragas, ervas daninhas ou outros organismos que afetam o crescimento das plantas. Uma vez que são aplicados nas plantas, os pesticidas são absorvidos pelos animais herbívoros que se alimentam dessas plantas. Nesse contexto, suponha que três espécies de animais herbívoros e alimentem-se das espécies de plantas e . Considere que a matriz apresenta a quantidade em mg de pesticida absorvida por cada planta e , enquanto que a matriz apresenta a quantidade em de pesticida absorvida por cada herbívoro , e .
Com as informações apresentadas resolva os itens a seguir:
(a) Determine a quantidade em mg de pesticida que foi absorvida por cada herbívoro e .
(b) Qual o conceito do conteúdo de matrizes foi utilizado para resolver o item (a)?
Encontre , tal que .
Consideremos vetores e no espaço. Determine e se e .
Se os pontos e são vértices de um cubo, encontre os outros vértices.