Verifique que o ponto P=(2,2,3) é equidistante dos pontos A=(1,4,-2) e B=(3,7,5). Determine a equação que as coordenadas de um ponto P=(x, y, z) equidistante dos pontos A e B devem satisfazer.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . A primeira parte do exercício quer que verifiquemos se o ponto está equidistante dos pontos e . A segunda parte pede para determinar a equação que descreve todos os pontos que estão equidistantes de e .
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional, que é baseada no Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Vamos calcular a distância entre d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e dPA = raiz(1 - 2)^2 + (4 - 2)^2 + (-2 - 3)^2 = raiz(-1)^2 + 2^2 + (-5)^2 = raiz1 + 4 + 25 = raiz30 . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando isso para e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre dPB = raiz(3 - 2)^2 + (7 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = raiz1^2 + 5^2 + 2^2 = raiz1 + 25 + 4 = raiz30 e usando a mesma fórmula:

Passo 4

Como , isso confirma que o ponto está equidistante dos pontos e .

Passo 5

Agora, vamos determinar a equação que descreve todos os pontos raiz(x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = raiz(x - 3)^2 + (y - 7)^2 + (z - 5)^2 equidistantes de e . Para isso, igualamos as distâncias de a e :

Passo 6

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
(x - 1)^2 + (y - 4)^2 + (z + 2)^2 = (x - 3)^2 + (y - 7)^2 + (z - 5)^2

Passo 7

Expandindo os termos:
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) + (z^2 + 4z + 4) = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 14y + 49) + (z^2 - 10z + 25)

Passo 8

Simplificando os termos semelhantes:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 + z^2 + 4z + 4 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 14y + 49 + z^2 - 10z + 25

Passo 9

Eliminando -2x + 1 - 8y + 16 + 4z + 4 = -6x + 9 - 14y + 49 - 10z + 25 , e de ambos os lados:

Passo 10

Rearranjando os termos:
-2x - 8y + 4z + 21 = -6x - 14y - 10z + 83

Passo 11

Movendo todos os termos para um lado da equação:
-2x + 6x -8y +14y +4z +10z +21 -83 = 0
Simplificando:
4x +6y +14z -62 = 0

Passo 12

Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
2x + 3y +7z -31 = 0

Resposta

A equação que as coordenadas de um ponto 2x + 3y + 7z = 31 equidistante dos pontos e devem satisfazer é:

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