Verifique que o ponto
é equidistante dos pontos
e
. Determine a equação que as coordenadas de um ponto
equidistante dos pontos
e
devem satisfazer.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço:
,
e
. A primeira parte do exercício quer que verifiquemos se o ponto
está equidistante dos pontos
e
. A segunda parte pede para determinar a equação que descreve todos os pontos
que estão equidistantes de
e
.
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional, que é baseada no Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Vamos calcular a distância entre
e
. A fórmula da distância
entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso para
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre
e
usando a mesma fórmula:
Passo 4
Como
, isso confirma que o ponto
está equidistante dos pontos
e
.
Passo 5
Agora, vamos determinar a equação que descreve todos os pontos
equidistantes de
e
. Para isso, igualamos as distâncias de
a
e
:
Passo 6
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 7
Expandindo os termos:
Passo 8
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 9
Eliminando
,
e
de ambos os lados:
Passo 10
Rearranjando os termos:
Passo 11
Movendo todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Passo 12
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Resposta
A equação que as coordenadas de um ponto
equidistante dos pontos
e
devem satisfazer é: