Verifique que o ponto é equidistante dos pontos e . Determine a equação que as coordenadas de um ponto equidistante dos pontos e devem satisfazer.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . A primeira parte do exercício quer que verifiquemos se o ponto está equidistante dos pontos e . A segunda parte pede para determinar a equação que descreve todos os pontos que estão equidistantes de e .
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional, que é baseada no Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Vamos calcular a distância entre e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando isso para e :
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre e usando a mesma fórmula:
Passo 4
Como , isso confirma que o ponto está equidistante dos pontos e .
Passo 5
Agora, vamos determinar a equação que descreve todos os pontos equidistantes de e . Para isso, igualamos as distâncias de a e :
Passo 6
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 7
Expandindo os termos:
Passo 8
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 9
Eliminando , e de ambos os lados:
Passo 10
Rearranjando os termos:
Passo 11
Movendo todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Passo 12
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Resposta
A equação que as coordenadas de um ponto equidistante dos pontos e devem satisfazer é: