Verifique que o ponto é equidistante dos pontos e . Determine a equação que as coordenadas de um ponto equidistante dos pontos e devem satisfazer.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos no espaço: , e . A primeira parte do exercício quer que verifiquemos se o ponto está equidistante dos pontos e . A segunda parte pede para determinar a equação que descreve todos os pontos que estão equidistantes de e .
Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional, que é baseada no Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Vamos calcular a distância entre e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:
Aplicando isso para e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre e usando a mesma fórmula:

Passo 4

Como , isso confirma que o ponto está equidistante dos pontos e .

Passo 5

Agora, vamos determinar a equação que descreve todos os pontos equidistantes de e . Para isso, igualamos as distâncias de a e :

Passo 6

Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 7

Expandindo os termos:

Passo 8

Simplificando os termos semelhantes:

Passo 9

Eliminando , e de ambos os lados:

Passo 10

Rearranjando os termos:

Passo 11

Movendo todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:

Passo 12

Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:

Resposta

A equação que as coordenadas de um ponto equidistante dos pontos e devem satisfazer é:

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Se os pontos e são vértices de um cubo, encontre os outros vértices.
Consideremos vetores e no espaço. Determine e se e .
Sejam e pontos do espaço.
(a) Determine o ponto tal que .
(b) Os pontos e são colineares? Justifique.
© Obtenha o ponto tal que .
(d) Os pontos e são colineares? Justifique.
Seja o operador linear definido pela matriz:
Determinar a lei que define o operador .