Quais dos seguintes conjuntos geram o ?
a) .
a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente descobrir quais dos dois conjuntos de vetores geram o espaço . Isso está na área da Álgebra Linear, mais especificamente sobre geração de espaços vetoriais e independência linear. Vamos precisar verificar se os vetores de cada conjunto são linearmente independentes e, se sim, eles vão gerar todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o conjunto A:

Para ver se esses vetores geram , vamos colocar eles como colunas de uma matriz e ver se essa matriz tem posto 4 (ou seja, se as colunas são linearmente independentes).

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores do conjunto A:
Agora, vamos fazer a redução da matriz para a forma escalonada e ver o número de pivôs (líderes) que ela tem.

Passo 4

Reduzindo :
  1. Primeira linha já começa com 1.
  2. Eliminar o elemento abaixo do primeiro 1: na quarta linha, subtraímos a primeira linha de M_A.
  1. Agora, na quarta linha, temos um 1 na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da quarta linha:
  1. Por fim, somamos a terceira linha com a quarta linha:
Agora, vemos que temos 4 pivôs, um em cada coluna principal.

Passo 5

Como a matriz tem posto 4, isso significa que os vetores do conjunto A são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço .

Passo 6

Agora, vamos analisar o conjunto B:

Seguiremos o mesmo processo: montar a matriz e verificar o posto.

Passo 7

Montamos a matriz :

Passo 8

Reduzindo :
  1. Primeira linha começa com 1.
  2. Eliminar o 1 abaixo do primeiro 1: subtraímos a primeira linha da segunda linha.
  1. Agora, eliminamos os elementos abaixo e acima do pivô na segunda coluna. Adicionamos a segunda linha à terceira e subtraímos a segunda linha da quarta:
  1. Finalmente, subtraímos a terceira linha da quarta:
Mais uma vez, temos 4 pivôs.

Resposta

Ambos os conjuntos A e B geram o espaço .

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Escreva a matriz como combinação linear das matrizes
Expresse o vetor como combinação linear de e .
Determine se e são linearmente dependentes ou não:
Consideremos os vetores e do .
a) Escreva como combinação linear de e .
b) Escreva como combinação linear de e .
c) Para que valores de é uma combinação linear de e ?