Quais dos seguintes conjuntos geram o R^4 ?
a) A=(1,0,0,1),(0,1,0,1),(1,1,1,1),(1,1,0,1).
a) B=(1,1,0,0),(1,2,-1,1),(0,0,1,1),(2,1,2,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente descobrir quais dos dois conjuntos de vetores geram o espaço R^4. Isso está na área da Álgebra Linear, mais especificamente sobre geração de espaços vetoriais e independência linear. Vamos precisar verificar se os vetores de cada conjunto são linearmente independentes e, se sim, eles vão gerar todo o espaço R^4.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o conjunto A:
A=(1,0,0,1),(0,1,0,1),(1,1,1,1),(1,1,0,1)
Para ver se esses vetores geram R^4, vamos colocar eles como colunas de uma matriz e ver se essa matriz tem posto 4 (ou seja, se as colunas são linearmente independentes).

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores do conjunto A:
MA = 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1
Agora, vamos fazer a redução da matriz para a forma escalonada e ver o número de pivôs (líderes) que ela tem.

Passo 4

Reduzindo MA:
  1. Primeira linha já começa com 1.
  2. Eliminar o elemento abaixo do primeiro 1: na quarta linha, subtraímos a primeira linha de M_A.
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0
  1. Agora, na quarta linha, temos um 1 na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da quarta linha:
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & -1
  1. Por fim, somamos a terceira linha com a quarta linha:
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1
Agora, vemos que temos 4 pivôs, um em cada coluna principal.

Passo 5

Como a matriz MA tem posto 4, isso significa que os vetores do conjunto A são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço R^4.

Passo 6

Agora, vamos analisar o conjunto B:
B=(1,1,0,0),(1,2,-1,1),(0,0,1,1),(2,1,2,2)
Seguiremos o mesmo processo: montar a matriz e verificar o posto.

Passo 7

Montamos a matriz MB:
MB = 1 & 1 & 0 & 2 1 & 2 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 2

Passo 8

Reduzindo MB:
  1. Primeira linha começa com 1.
  2. Eliminar o 1 abaixo do primeiro 1: subtraímos a primeira linha da segunda linha.
1 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & -1 0 & -1 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 2
  1. Agora, eliminamos os elementos abaixo e acima do pivô na segunda coluna. Adicionamos a segunda linha à terceira e subtraímos a segunda linha da quarta:
1 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 & 3
  1. Finalmente, subtraímos a terceira linha da quarta:
1 & 1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & -1 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 2
Mais uma vez, temos 4 pivôs.

Resposta

Ambos os conjuntos A e B geram o espaço R^4.

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