Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente descobrir quais dos dois conjuntos de vetores geram o espaço . Isso está na área da Álgebra Linear, mais especificamente sobre geração de espaços vetoriais e independência linear. Vamos precisar verificar se os vetores de cada conjunto são linearmente independentes e, se sim, eles vão gerar todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o conjunto A:
Para ver se esses vetores geram , vamos colocar eles como colunas de uma matriz e ver se essa matriz tem posto 4 (ou seja, se as colunas são linearmente independentes).
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores do conjunto A:
Agora, vamos fazer a redução da matriz para a forma escalonada e ver o número de pivôs (líderes) que ela tem.
Passo 4
Reduzindo :
Primeira linha já começa com 1.
Eliminar o elemento abaixo do primeiro 1: na quarta linha, subtraímos a primeira linha de M_A.
Agora, na quarta linha, temos um 1 na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da quarta linha:
Por fim, somamos a terceira linha com a quarta linha:
Agora, vemos que temos 4 pivôs, um em cada coluna principal.
Passo 5
Como a matriz tem posto 4, isso significa que os vetores do conjunto A são linearmente independentes e, portanto, geram todo o espaço .
Passo 6
Agora, vamos analisar o conjunto B:
Seguiremos o mesmo processo: montar a matriz e verificar o posto.
Passo 7
Montamos a matriz :
Passo 8
Reduzindo :
Primeira linha começa com 1.
Eliminar o 1 abaixo do primeiro 1: subtraímos a primeira linha da segunda linha.
Agora, eliminamos os elementos abaixo e acima do pivô na segunda coluna. Adicionamos a segunda linha à terceira e subtraímos a segunda linha da quarta:
Finalmente, subtraímos a terceira linha da quarta: