A constante de força de um lança-dardos de brinquedo é
. Um dardo de 7 g é disparado na vertical com velocidade inicial de
e atinge a altura máxima de 24 m . Determine: a) a energia dissipada pelo atrito com o ar durante a subida do dardo após o seu lançamento; b) a velocidade do dardo ao retornar ao ponto de lançamento; c) a compressão máxima da mola. R: a)
; b)
; c)
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um lança-dardos de brinquedo que funciona com uma mola. A constante da mola é
. Um dardo de
(que é
) é lançado para cima com uma velocidade inicial de
e alcança uma altura máxima de
. Precisamos resolver três partes:
a) Determinar a energia dissipada pelo atrito com o ar durante a subida do dardo.
b) Calcular a velocidade do dardo ao retornar ao ponto de lançamento.
c) Encontrar a compressão máxima da mola.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e conservação de energia. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte a: Energia dissipada pelo atrito com o ar durante a subida
Primeiro, vamos calcular a energia cinética inicial do dardo quando é lançado. A energia cinética (
) é dada por:
Onde:
-
(massa do dardo) -
(velocidade inicial)
Calculando:
Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional (
) no ponto mais alto:
Onde:
-
(aceleração da gravidade) -
(altura máxima)
Calculando:
A energia dissipada pelo atrito (
) é a diferença entre a energia cinética inicial e a energia potencial no ponto mais alto:
Arredondando,
(o sinal negativo indica que a energia foi dissipada).
Passo 3
Parte b: Velocidade do dardo ao retornar ao ponto de lançamento
Quando o dardo retorna ao ponto de lançamento, ele tem energia cinética novamente. Porém, parte da energia foi dissipada pelo atrito, então a energia cinética final será menor que a inicial.
Vamos usar a conservação de energia considerando a energia dissipada:
Onde
é a energia cinética na volta.
Substituindo os valores:
Agora, vamos achar a velocidade final (
) usando a fórmula da energia cinética:
Resolvendo para
:
No entanto, considerando o valor fornecido na resposta (
), parece que houve uma interpretação diferente dos dados. Pode ser que tenha sido considerado outro fator na dissipação de energia. De qualquer forma, seguindo os cálculos, a velocidade seria aproximadamente
.
Passo 4
Parte c: Compressão máxima da mola
A compressão máxima da mola ocorre quando todo o energia armazenada na mola é convertida em energia potencial elástica (
). A energia potencial elástica é dada por:
Onde:
-
(constante da mola) -
é a compressão da mola que queremos encontrar.
A energia armazenada na mola inicialmente é igual à energia cinética inicial menos a energia dissipada:
Agora, resolvendo para
:
Arredondando, a compressão máxima da mola é aproximadamente
.
Resposta
a)
;
b) ;
c) .
b)
c)