A constante de força de um lança-dardos de brinquedo é 5000 N / m. Um dardo de 7 g é disparado na vertical com velocidade inicial de 25 m / s e atinge a altura máxima de 24 m . Determine: a) a energia dissipada pelo atrito com o ar durante a subida do dardo após o seu lançamento; b) a velocidade do dardo ao retornar ao ponto de lançamento; c) a compressão máxima da mola. R: a) -0,5411 J; b) 17,77 m / s; c) 2,96 times 10^-2 m.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um lança-dardos de brinquedo que funciona com uma mola. A constante da mola é . Um dardo de (que é ) é lançado para cima com uma velocidade inicial de e alcança uma altura máxima de . Precisamos resolver três partes:
a) Determinar a energia dissipada pelo atrito com o ar durante a subida do dardo.
b) Calcular a velocidade do dardo ao retornar ao ponto de lançamento.
c) Encontrar a compressão máxima da mola.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e conservação de energia. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte a: Energia dissipada pelo atrito com o ar durante a subida
Primeiro, vamos calcular a energia cinética inicial do dardo quando é lançado. A energia cinética ( Ek = 12 m v0^2 ) é dada por:
Ek = 12 times 0,007 times 25^2 = 12 times 0,007 times 625 = 0,5 times 0,007 times 625 = 2,1875 , J
Onde:
  • Ep = m cdot g cdot h (massa do dardo)
  • Ep = 0,007 times 9,81 times 24 = 0,007 times 235,44 = 1,64808 , J (velocidade inicial)
Calculando:
Ed = Ek - Ep = 2,1875 - 1,64808 = 0,5394 , J
Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional ( ) no ponto mais alto:
Onde:
  • (aceleração da gravidade)
  • (altura máxima)
Calculando:
A energia dissipada pelo atrito ( ) é a diferença entre a energia cinética inicial e a energia potencial no ponto mais alto:
Arredondando, (o sinal negativo indica que a energia foi dissipada).

Passo 3

Parte b: Velocidade do dardo ao retornar ao ponto de lançamento
Quando o dardo retorna ao ponto de lançamento, ele tem energia cinética novamente. Porém, parte da energia foi dissipada pelo atrito, então a energia cinética final será menor que a inicial.
Vamos usar a conservação de energia considerando a energia dissipada:
Ek' = Ek - Ed
Onde Ek' = 2,1875 , J - 0,5391 , J = 1,6484 , J é a energia cinética na volta.
Substituindo os valores:
Ek' = 12 m v'^2
Agora, vamos achar a velocidade final ( v' = raiz2 Ek'm = raiz2 times 1,64840,007 = raiz3,29680,007 = raiz470,9714 approx 21,7 , m/s ) usando a fórmula da energia cinética:
Resolvendo para :
No entanto, considerando o valor fornecido na resposta ( ), parece que houve uma interpretação diferente dos dados. Pode ser que tenha sido considerado outro fator na dissipação de energia. De qualquer forma, seguindo os cálculos, a velocidade seria aproximadamente .

Passo 4

Parte c: Compressão máxima da mola
A compressão máxima da mola ocorre quando todo o energia armazenada na mola é convertida em energia potencial elástica ( Ee = 12 k x^2 ). A energia potencial elástica é dada por:
Ee = Ek - Ed = 2,1875 - 0,5391 = 1,6484 , J
Onde:
  • 1,6484 = 12 times 5000 times x^2 x^2 = 2 times 1,64845000 = 3,29685000 = 0,00065936 x = raiz0,00065936 approx 0,02568 , m approx 2,57 times 10^-2 , m (constante da mola)
  • é a compressão da mola que queremos encontrar.
A energia armazenada na mola inicialmente é igual à energia cinética inicial menos a energia dissipada:
Agora, resolvendo para :
Arredondando, a compressão máxima da mola é aproximadamente .

Resposta

a) ;
b) ;
c) .

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Prob. 12