A constante de força de um lança-dardos de brinquedo é
. Um dardo de 7 g é disparado na vertical com velocidade inicial de
e atinge a altura máxima de 24 m . Determine: a) a energia dissipada pelo atrito com o ar durante a subida do dardo após o seu lançamento; b) a velocidade do dardo ao retornar ao ponto de lançamento; c) a compressão máxima da mola. R: a)
; b)
; c)
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um lança-dardos de brinquedo que funciona com uma mola. A constante da mola é
. Um dardo de
(que é
) é lançado para cima com uma velocidade inicial de
e alcança uma altura máxima de
. Precisamos resolver três partes:
a) Determinar a energia dissipada pelo atrito com o ar durante a subida do dardo.
b) Calcular a velocidade do dardo ao retornar ao ponto de lançamento.
c) Encontrar a compressão máxima da mola.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética, energia potencial gravitacional e conservação de energia. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte a: Energia dissipada pelo atrito com o ar durante a subida
Primeiro, vamos calcular a energia cinética inicial do dardo quando é lançado. A energia cinética (
) é dada por:
Onde:
-
(massa do dardo) -
(velocidade inicial)
Calculando:
Agora, vamos calcular a energia potencial gravitacional (
) no ponto mais alto:
Onde:
-
(aceleração da gravidade) -
(altura máxima)
Calculando:
A energia dissipada pelo atrito (
) é a diferença entre a energia cinética inicial e a energia potencial no ponto mais alto:
Arredondando,
(o sinal negativo indica que a energia foi dissipada).
Passo 3
Parte b: Velocidade do dardo ao retornar ao ponto de lançamento
Quando o dardo retorna ao ponto de lançamento, ele tem energia cinética novamente. Porém, parte da energia foi dissipada pelo atrito, então a energia cinética final será menor que a inicial.
Vamos usar a conservação de energia considerando a energia dissipada:
Onde
é a energia cinética na volta.
Substituindo os valores:
Agora, vamos achar a velocidade final (
) usando a fórmula da energia cinética:
Resolvendo para
:
No entanto, considerando o valor fornecido na resposta (
), parece que houve uma interpretação diferente dos dados. Pode ser que tenha sido considerado outro fator na dissipação de energia. De qualquer forma, seguindo os cálculos, a velocidade seria aproximadamente
.
Passo 4
Parte c: Compressão máxima da mola
A compressão máxima da mola ocorre quando todo o energia armazenada na mola é convertida em energia potencial elástica (
). A energia potencial elástica é dada por:
Onde:
-
(constante da mola) -
é a compressão da mola que queremos encontrar.
A energia armazenada na mola inicialmente é igual à energia cinética inicial menos a energia dissipada:
Agora, resolvendo para
:
Arredondando, a compressão máxima da mola é aproximadamente
.
Resposta
a)
;
b) ;
c) .
b)
c)
Exercícios relacionados
Um bloco de 2 kg é projetado para cima de um plano inclinado de
, com uma velocidade de
. O coeficiente de atrito cinético é 0,3 . Calcule: a) a distância que o bloco alcança no plano inclinado até atingir momentaneamente o repouso; b) a energia dissipada pelo atrito durante a subida; c) a velocidade com que o bloco retorna ao ponto de partida. R: a) 0,452 m; b)
; c)
Dois blocos estão ligados por um fio de massa desprezível, que passa por uma polia. O bloco um se encontra sobre uma mesa e o bloco dois está suspenso. As massas são,
e
e o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é 0,35 . Dado que o sistema parte do repouso, quando o corpo 2 tiver caído uma altura de 2 m , calcule: a) a energia dissipada pelo atrito; b) a velocidade do sistema. R: a)
; b)
.
Um bloco de
encontra-se inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal lisa (sem atrito). Ele é puxado por uma força constante de
, a qual faz um ângulo de
acima da horizontal. Calcule: a) a aceleração; b) o tempo que a força deve agir sobre o bloco de modo que ele atinja a velocidade de
; c) a distância que o bloco percorreu durante este tempo. R : a)
; b)
; c)
.
Dois blocos de massas
e
estão ligados por um fio. Duas forças cujos módulos
atuam sobre os blocos. Calcular: a) a aceleração dos blocos; b) a tensão no fio entre os blocos. R: a)
; b)
.
Prob. 12
Prob. 12