Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números ímpares positivos.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e o que precisamos saber. A questão quer que a gente crie uma bijeção entre os números naturais N (que são 0, 1, 2, 3, …) e os números ímpares positivos (1, 3, 5, 7, …). Para isso, precisamos entender o que é uma função bijetora: é uma função que associa cada elemento de um conjunto a exatamente um elemento de outro conjunto, sem repetir e sem deixar nenhum de fora.

Passo 2

Vamos pensar em como relacionar cada número natural com um número ímpar. Observamos que os números ímpares positivos podem ser gerados usando a fórmula 2n + 1, onde n é um número natural. Por exemplo:
  • Se n = 0, então 2 times 0 + 1 = 1.
  • Se n = 1, então 2 times 1 + 1 = 3.
  • Se n = 2, então 2 times 2 + 1 = 5.
    E assim por diante.

Passo 3

Com base nisso, vamos definir nossa função f dessa maneira:
f(n) = 2n + 1 onde n in N
Isso significa que para cada número natural n, a função f vai mapear ele para o número ímpar correspondente.

Passo 4

Agora, vamos verificar se essa função é realmente uma bijeção:
  • Injetora: Se tivermos dois números naturais diferentes, digamos n1 e n2, onde n1 neq n2, então f(n1) = 2n1 + 1 e f(n2) = 2n2 + 1 também serão diferentes. Ou seja, nenhum número ímpar vai ser mapeado para mais de um número natural.
  • Sobrejetora: Todo número ímpar positivo pode ser escrito como 2n + 1 para algum número natural n. Portanto, não sobra nenhum número ímpar sem ser mapeado.

Resposta

A bijeção é dada por:
f(n) = 2n + 1 onde n in N

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