Construa uma bijeção entre o conjunto
e o conjunto dos números ímpares positivos.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e o que precisamos saber. A questão quer que a gente crie uma bijeção entre os números naturais
(que são 0, 1, 2, 3, …) e os números ímpares positivos (1, 3, 5, 7, …). Para isso, precisamos entender o que é uma função bijetora: é uma função que associa cada elemento de um conjunto a exatamente um elemento de outro conjunto, sem repetir e sem deixar nenhum de fora.
Passo 2
Vamos pensar em como relacionar cada número natural com um número ímpar. Observamos que os números ímpares positivos podem ser gerados usando a fórmula
, onde
é um número natural. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
E assim por diante.
Passo 3
Com base nisso, vamos definir nossa função
dessa maneira:
Isso significa que para cada número natural
, a função
vai mapear ele para o número ímpar correspondente.
Passo 4
Agora, vamos verificar se essa função é realmente uma bijeção:
- Injetora: Se tivermos dois números naturais diferentes, digamos
e , onde , então e também serão diferentes. Ou seja, nenhum número ímpar vai ser mapeado para mais de um número natural. - Sobrejetora: Todo número ímpar positivo pode ser escrito como
para algum número natural . Portanto, não sobra nenhum número ímpar sem ser mapeado.
Resposta
A bijeção é dada por: