Indicando com card
o número de elementos do conjunto finito
, prove: Se
e
são finitos então
é finito e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar é que, se os conjuntos
e
têm um número finito de elementos, então a união deles,
, também tem um número finito de elementos. Além disso, precisamos mostrar que o número de elementos em
é igual ao número de elementos em
mais o número de elementos em
, menos o número de elementos que estão em ambos
e
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos e cardinalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser finito. Um conjunto é finito se ele tem um número limitado de elementos. Ou seja, podemos contar quantos elementos ele tem. Como
e
são finitos, sabemos que
e
são números bem definidos.
Passo 3
Agora, vamos pensar na união
. A união de dois conjuntos é simplesmente o conjunto que contém todos os elementos que estão em
, em
, ou em ambos. Queremos provar que essa união também é finita.
Passo 4
Para descobrir quantos elementos estão em
, podemos somar o número de elementos de
com o número de elementos de
. Mas tem um detalhe: se alguns elementos estão tanto em
quanto em
, eles serão contados duas vezes nessa soma. Isso é o que a gente chama de sobreposição.
Passo 5
Para evitar essa contagem dupla dos elementos que estão em ambos os conjuntos, precisamos subtrair o número de elementos que estão na interseção
. A interseção é o conjunto que contém apenas os elementos que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo.
Passo 6
Então, juntando tudo, a fórmula para o número de elementos na união fica assim:
Resposta
Concluímos que a união
é finita e que o número de elementos dela é: