Indicando com card X o número de elementos do conjunto finito X, prove: Se X e Y são finitos então X cup Y é finito e card(X cup Y)=card X+card Y-card(X cap Y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa provar é que, se os conjuntos e têm um número finito de elementos, então a união deles, , também tem um número finito de elementos. Além disso, precisamos mostrar que o número de elementos em é igual ao número de elementos em mais o número de elementos em , menos o número de elementos que estão em ambos e . Para isso, vamos usar conceitos básicos de teoria dos conjuntos e cardinalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto ser finito. Um conjunto é finito se ele tem um número limitado de elementos. Ou seja, podemos contar quantos elementos ele tem. Como e são finitos, sabemos que e são números bem definidos.

Passo 3

Agora, vamos pensar na união . A união de dois conjuntos é simplesmente o conjunto que contém todos os elementos que estão em , em , ou em ambos. Queremos provar que essa união também é finita.

Passo 4

Para descobrir quantos elementos estão em , podemos somar o número de elementos de com o número de elementos de . Mas tem um detalhe: se alguns elementos estão tanto em quanto em , eles serão contados duas vezes nessa soma. Isso é o que a gente chama de sobreposição.

Passo 5

Para evitar essa contagem dupla dos elementos que estão em ambos os conjuntos, precisamos subtrair o número de elementos que estão na interseção . A interseção é o conjunto que contém apenas os elementos que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo.

Passo 6

Então, juntando tudo, a fórmula para o número de elementos na união fica assim:
card(X cup Y) = card(X) + card(Y) - card(X cap Y)

Resposta

Concluímos que a união card(X cup Y) = card(X) + card(Y) - card(X cap Y) é finita e que o número de elementos dela é:

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