Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números quadrados perfeitos.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos criar uma bijeção entre o conjunto dos números naturais, que é N = 0, 1, 2, 3, dots, e o conjunto dos números quadrados perfeitos, que são números como 0, 1, 4, 9, 16, dots.
Uma bijeção é uma função que relaciona cada elemento de um conjunto a exatamente um elemento do outro conjunto, sem repetir nenhum. Para resolver isso, vamos precisar entender como mapear cada número natural para um quadrado perfeito de maneira única.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número quadrado perfeito é simplesmente um número que pode ser escrito como o quadrado de um número natural. Por exemplo, 4 é um quadrado perfeito porque 2 times 2 = 4.
Então, se quisermos criar uma bijeção, podemos pensar em uma função que pega cada número natural e o eleva ao quadrado. Vamos definir uma função f da seguinte forma:
f(n) = n^2
Aqui, n é qualquer número natural da nossa lista N.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa função f(n) = n^2 realmente cria uma bijeção.
Injetora (Um para Um): Cada número natural n é mapeado para um único quadrado perfeito n^2. Não há dois números naturais diferentes que resultem no mesmo quadrado perfeito. Por exemplo, 2^2 = 4 e 3^2 = 9, que são distintos.
Sobrejetora (Cobre Todo o Conjunto): Cada número quadrado perfeito é alcançado por algum número natural. Por exemplo, 16 é alcançado por 4 porque 4^2 = 16.
Como a função f é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é uma bijeção.

Resposta

A função f: N n^2 mid n in N definida por f(n) = n^2 é uma bijeção entre os números naturais e os números quadrados perfeitos.

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