Construa uma bijeção entre o conjunto
e o conjunto dos números quadrados perfeitos.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Queremos criar uma bijeção entre o conjunto dos números naturais, que é
, e o conjunto dos números quadrados perfeitos, que são números como
.
Uma bijeção é uma função que relaciona cada elemento de um conjunto a exatamente um elemento do outro conjunto, sem repetir nenhum. Para resolver isso, vamos precisar entender como mapear cada número natural para um quadrado perfeito de maneira única.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número quadrado perfeito é simplesmente um número que pode ser escrito como o quadrado de um número natural. Por exemplo,
é um quadrado perfeito porque
.
Então, se quisermos criar uma bijeção, podemos pensar em uma função que pega cada número natural e o eleva ao quadrado. Vamos definir uma função
da seguinte forma:
Aqui,
é qualquer número natural da nossa lista
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa função
realmente cria uma bijeção.
Injetora (Um para Um): Cada número natural
é mapeado para um único quadrado perfeito
. Não há dois números naturais diferentes que resultem no mesmo quadrado perfeito. Por exemplo,
e
, que são distintos.
Sobrejetora (Cobre Todo o Conjunto): Cada número quadrado perfeito é alcançado por algum número natural. Por exemplo,
é alcançado por
porque
.
Como a função
é tanto injetora quanto sobrejetora, ela é uma bijeção.
Resposta
A função
definida por
é uma bijeção entre os números naturais e os números quadrados perfeitos.