Demonstre que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, em um triângulo, o segmento que liga os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e tem exatamente a metade do comprimento dele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria sobre pontos médios, segmentos paralelos e propriedades dos triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo qualquer, chamado de triângulo ABC. Vamos chamar de D o ponto médio do lado AB e de E o ponto médio do lado AC. Nosso objetivo é mostrar que o segmento DE é paralelo ao lado BC e que DE é igual a metade de BC.

Passo 3

Como D e E são pontos médios, sabemos que AD = DB e AE = EC. Isso significa que cada um desses segmentos é igual ao outro, dividindo os lados AB e AC exatamente ao meio.

Passo 4

Agora, vamos considerar os triângulos ADE e ABC. Observamos que:
  • AD = DB (porque D é ponto médio)
  • AE = EC (porque E é ponto médio)
  • O ângulo em A é compartilhado por ambos os triângulos.
Portanto, pelos lados iguais e pelo ângulo comum, os triângulos ADE e ABC são semelhantes por proporcionalidade.

Passo 5

Devido à semelhança dos triângulos ADE e ABC, os lados correspondentes estão na mesma proporção. Especificamente, temos que:
DEBC = ADAB = 12
Isso mostra que DE é metade de BC.

Passo 6

Além disso, como os triângulos são semelhantes, os ângulos correspondentes são iguais. Assim, os ângulos que DE forma com AD e AE são iguais aos ângulos que BC forma com AB e AC, respectivamente. Isso confirma que DE é paralelo a BC.

Resposta

Portanto, o segmento que une os pontos médios de dois lados do triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento.

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