Obter o operador linear F: R^2 R^2 que tem autovalores iguais a 1 e -2 associados aos autovetores v1=(-1,2) e v2=(0,3), respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar um operador linear que tem dois autovalores, 1 e -2, com os respectivos autovetores e . Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores e como eles se relacionam com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador linear em A cdot v = lambda cdot v pode ser representado por uma matriz 2x2. Se é um autovetor de com autovalor , então temos a relação:
Isso significa que, quando a matriz multiplica o vetor , o resultado é o mesmo vetor escalado pelo autovalor .

Passo 3

Vamos montar essas equações para os dois autovalores e autovetores dados. Seja a & b c & d .
Primeiro, para A cdot -1 2 = 1 cdot -1 2 com -a + 2b = -1 (1) :
- c + 2d = 2 (2)
Isso resulta em duas equações:

Passo 4

Agora, para A cdot 0 3 = -2 cdot 0 3 com 0a + 3b = 0 (3) :
0c + 3d = -6 (4)
Isso também resulta em duas equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo. Começando pela equação (3):
3b = 0 Rightarrow b = 0
Com - a + 2(0) = -1 Rightarrow -a = -1 Rightarrow a = 1 , substituímos na equação (1):
3d = -6 Rightarrow d = -2
Agora, pela equação (4):
- c + 2(-2) = 2 Rightarrow -c -4 = 2 Rightarrow -c = 6 Rightarrow c = -6
Por fim, substituímos na equação (2):

Resposta

O operador linear F = 1 & 0 -6 & -2 é representado pela matriz:

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