Obter o operador linear
que tem autovalores iguais a 1 e -2 associados aos autovetores
e
, respectivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear! A gente precisa encontrar um operador linear
que tem dois autovalores, 1 e -2, com os respectivos autovetores
e
. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores e como eles se relacionam com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um operador linear em
pode ser representado por uma matriz
2x2. Se
é um autovetor de
com autovalor
, então temos a relação:
Isso significa que, quando a matriz
multiplica o vetor
, o resultado é o mesmo vetor
escalado pelo autovalor
.
Passo 3
Vamos montar essas equações para os dois autovalores e autovetores dados. Seja
.
Primeiro, para
com
:
Isso resulta em duas equações:
Passo 4
Agora, para
com
:
Isso também resulta em duas equações:
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo. Começando pela equação (3):
Com
, substituímos na equação (1):
Agora, pela equação (4):
Por fim, substituímos
na equação (2):
Resposta
O operador linear
é representado pela matriz: