Dada a parábola de equação
, determinar um esboço do gráfico;
Passo 1
Então, temos uma equação de uma parábola:
. Vamos usar conceitos de geometria analítica para esboçar o gráfico dessa parábola. Precisaremos reorganizar a equação para identificar características como vértice, direção de abertura e interceptações.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar os termos em
de um lado. Começamos isolando
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo em
. O objetivo é transformar
em uma expressão quadrática perfeita. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 9 na equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, isolamos
para obter a forma padrão da parábola:
A forma padrão de uma parábola horizontal é
, onde
é o vértice e
determina a distância do vértice ao foco e a direção de abertura.
Passo 5
Comparando com a forma padrão, identificamos:
Isso significa que o vértice da parábola está em
, e como
é positivo, a parábola abre para a direita.
Passo 6
Vamos determinar o foco usando
. O foco está a uma distância
na direção da abertura a partir do vértice. Assim:
Passo 7
Agora, encontramos a equação da diretiva, que é uma linha vertical oposta à direção da abertura, à distância
do vértice:
Passo 8
Para esboçar o gráfico, plotamos o vértice
, o foco
, e a diretiva
. Sabendo que a parábola abre para a direita, desenhamos a curva simétrica em relação ao eixo da parábola, que é a linha horizontal
.
Resposta
O esboço do gráfico da parábola
tem vértice em
, abre para a direita, com foco em
e diretiva na linha
.
Exercícios relacionados
Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Dada a parábola de equação
, determinar o foco e uma equaçāo da diretriz;
Construa explicitamente a transformação linear
, tal que
, e
.
Dada a parábola de equação
, determinar uma equação do eixo.