Dada a parábola de equação y^2+6 y-8 x+17=0, determinar um esboço do gráfico;

Passo 1

Então, temos uma equação de uma parábola: . Vamos usar conceitos de geometria analítica para esboçar o gráfico dessa parábola. Precisaremos reorganizar a equação para identificar características como vértice, direção de abertura e interceptações.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixar os termos em y^2 + 6y = 8x - 17 de um lado. Começamos isolando :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo em (62)^2 = 9 . O objetivo é transformar y^2 + 6y + 9 = 8x - 17 + 9 em uma expressão quadrática perfeita. Para isso, pegamos o coeficiente de (y + 3)^2 = 8x - 8 , que é 6, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos 9 na equação:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, isolamos (y + 3)^2 = 8(x - 1) para obter a forma padrão da parábola:
A forma padrão de uma parábola horizontal é , onde é o vértice e determina a distância do vértice ao foco e a direção de abertura.

Passo 5

Comparando com a forma padrão, identificamos:
h = 1, k = -3, 4p = 8 Rightarrow p = 2
Isso significa que o vértice da parábola está em , e como é positivo, a parábola abre para a direita.

Passo 6

Vamos determinar o foco usando Foco = (h + p, k) = (1 + 2, -3) = (3, -3) . O foco está a uma distância na direção da abertura a partir do vértice. Assim:

Passo 7

Agora, encontramos a equação da diretiva, que é uma linha vertical oposta à direção da abertura, à distância x = h - p = 1 - 2 = -1 do vértice:

Passo 8

Para esboçar o gráfico, plotamos o vértice , o foco , e a diretiva . Sabendo que a parábola abre para a direita, desenhamos a curva simétrica em relação ao eixo da parábola, que é a linha horizontal .

Resposta

O esboço do gráfico da parábola tem vértice em , abre para a direita, com foco em e diretiva na linha .

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