Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. x^2+4 y^2+8 x-8 y-4 z+28=0

Passo 1

Vamos analisar a equação . O conteúdo que vamos usar aqui são as superfícies quadricas, que são superfícies definidas por equações de segundo grau. Para identificar a superfície específica dessa equação, vamos reorganizar e simplificar os termos usando o método de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos agrupar os termos semelhantes:
x^2 + 8x + 4y^2 - 8y - 4z + 28 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 + 8x = (x^2 + 8x + 16) - 16 = (x + 4)^2 - 16 e 4y^2 - 8y = 4(y^2 - 2y) = 4( (y^2 - 2y + 1) - 1 ) = 4(y - 1)^2 - 4 :
Para :
Para :

Passo 4

Substituindo de volta na equação original:
(x + 4)^2 - 16 + 4(y - 1)^2 - 4 - 4z + 28 = 0
Simplificando:
(x + 4)^2 + 4(y - 1)^2 - 4z + 8 = 0

Passo 5

Isolando -4z = - (x + 4)^2 - 4(y - 1)^2 - 8 :
z = (x + 4)^24 + (y - 1)^2 + 2

Resposta

A superfície dada é um paraboloide elíptico com a equação .

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