Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de: b) 600 m

Passo 1

Vamos resumir a questão: um alpinista está escalando uma trilha de montanha, e a cada hora ele percorre metade da distância que percorreu na hora anterior. Na primeira hora, ele sobe 256 metros, na segunda hora, 128 metros, na terceira, 64 metros, e assim por diante. Precisamos descobrir quanto tempo ele leva para completar um percurso de 600 metros.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo é uma constante multiplicada pelo termo anterior. Vamos precisar somar os termos dessa sequência até alcançarmos ou excedermos 600 metros.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a sequência de distâncias percorridas a cada hora forma uma progressão geométrica. O primeiro termo dessa sequência é metros e a razão é , já que ele percorre metade da distância da hora anterior a cada nova hora.

Passo 3

O próximo passo é calcular a soma acumulada das distâncias percorridas a cada hora até que essa soma seja igual ou ultrapasse 600 metros. A soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica é dada pela fórmula:
Onde:
  • é a soma dos primeiros termos.
  • m é o primeiro termo.
  • é a razão.

Passo 4

Vamos usar essa fórmula para encontrar quantas horas são necessárias para que a soma das distâncias percorridas seja pelo menos 600 metros.
Substituímos os valores:
Queremos que :

Passo 5

Resolvendo a inequação:
Percebemos que é sempre menor que 1, já que é positivo. Portanto:
Mas , então a inequação não tem solução real. Isso significa que, mesmo somando infinitas horas, o alpinista nunca alcançará 600 metros, já que a soma infinita da progressão geométrica converge para 512 metros.

Resposta

É impossível alcançar 600 metros, pois a soma infinita das distâncias percorridas é 512 metros. O alpinista não conseguirá completar um percurso de 600 metros seguindo esse padrão de avanço.

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