Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente construir o gráfico da função e analisar se ela é contínua. A função é uma função por partes, ou seja, ela muda de regra dependendo do valor de . Vamos precisar entender como desenhar gráficos de funções por partes e revisar o conceito de continuidade para ver onde a função pode ter interrupções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da função. A função está definida de duas maneiras diferentes:
  • Para , . Isso significa que, para todos os valores de que são menores ou iguais a zero, o valor de é sempre zero.
  • Para , . Aqui, para todos os valores de maiores que zero, é igual a mesmo.

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico dessas duas partes. Para , como , isso é uma reta horizontal no eixo onde . Já para , é uma reta que passa pela origem com inclinação 1.

Passo 4

Agora, vamos juntar essas duas partes no mesmo gráfico. No ponto , a primeira parte da função nos dá . A segunda parte da função também, quando se aproxima de 0 a partir da direita ( ), dá . Então, o gráfico será uma reta horizontal à esquerda de zero e uma reta diagonal à direita de zero que começa exatamente onde a reta horizontal termina.

Passo 5

Vamos analisar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto.

Passo 6

Vamos verificar a continuidade em :
  • O limite pela esquerda ( ) de é 0, porque para .
  • O limite pela direita ( ) de é também 0, já que e quando se aproxima de 0, tende a 0.
  • O valor de é 0.
Como todos esses valores são iguais, a função é contínua em .

Passo 7

Além de , como a função é uma reta horizontal para e uma reta linear para , que são ambas funções contínuas, não há outros pontos de descontinuidade.

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio. O gráfico consiste em uma reta horizontal para e uma reta diagonal para , unidas de forma contínua no ponto .

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