Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente construir o gráfico da função
e analisar se ela é contínua. A função é uma função por partes, ou seja, ela muda de regra dependendo do valor de
. Vamos precisar entender como desenhar gráficos de funções por partes e revisar o conceito de continuidade para ver onde a função pode ter interrupções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte da função. A função
está definida de duas maneiras diferentes:
- Para
, . Isso significa que, para todos os valores de que são menores ou iguais a zero, o valor de é sempre zero. - Para
, . Aqui, para todos os valores de maiores que zero, é igual a mesmo.
Passo 3
Vamos desenhar o gráfico dessas duas partes. Para
, como
, isso é uma reta horizontal no eixo
onde
. Já para
,
é uma reta que passa pela origem com inclinação 1.
Passo 4
Agora, vamos juntar essas duas partes no mesmo gráfico. No ponto
, a primeira parte da função nos dá
. A segunda parte da função também, quando
se aproxima de 0 a partir da direita (
), dá
. Então, o gráfico será uma reta horizontal à esquerda de zero e uma reta diagonal à direita de zero que começa exatamente onde a reta horizontal termina.
Passo 5
Vamos analisar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando
se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite quando
se aproxima pela direita, e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto.
Passo 6
Vamos verificar a continuidade em
:
- O limite pela esquerda (
) de é 0, porque para . - O limite pela direita (
) de é também 0, já que e quando se aproxima de 0, tende a 0. - O valor de
é 0.
Como todos esses valores são iguais, a função é contínua em
.
Passo 7
Além de
, como a função é uma reta horizontal para
e uma reta linear para
, que são ambas funções contínuas, não há outros pontos de descontinuidade.
Resposta
A função
é contínua em todo o seu domínio. O gráfico consiste em uma reta horizontal para
e uma reta diagonal
para
, unidas de forma contínua no ponto
.