lim x 2 2 x^2-5 x+25 x^2-7 x-6

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite quando se aproxima de 2 para a função . Aqui a gente vai usar conceitos de limites e fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de 2(2)^2 - 5(2) + 25(2)^2 - 7(2) - 6 = 2(4) - 10 + 25(4) - 14 - 6 = 8 - 10 + 220 - 14 - 6 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos calcular o limite assim mesmo:
A gente se depara com uma forma indeterminada , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Começando pelo numerador 2x^2 - 5x + 2 = 2x^2 - 4x - x + 2 = (2x^2 - 4x) + (-x + 2) = 2x(x - 2) -1(x - 2) = (2x - 1)(x - 2) :
Procuramos dois números que multiplicados dão 5x^2 - 7x - 6 = 5x^2 - 10x + 3x - 6 = (5x^2 - 10x) + (3x - 6) = 5x(x - 2) + 3(x - 2) = (5x + 3)(x - 2) e somados dão . Esses números são -4 e -1.
Então:
Agora, o denominador :
Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são -10 e 3.
Então:

Passo 4

Agora, substituímos os fatores na expressão original:
2x^2 - 5x + 25x^2 - 7x - 6 = (2x - 1)(x - 2)(5x + 3)(x - 2)
A gente percebe que o fator (2x - 1)cancel(x - 2)(5x + 3)cancel(x - 2) = 2x - 15x + 3 está presente tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, vamos calcular o limite substituindo limx to 2 2x - 15x + 3 = 2(2) - 15(2) + 3 = 4 - 110 + 3 = 313 :

Resposta

O limite é .

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