Sabendo-se que lim x 0 sen xx=1 e que cos x=1-sen^2(x2), calcule:
lim x 0 tg(4 x)x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite:
lim x 0 tg(4 x)x
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e identidades trigonométricas, especificamente o fato de que:
lim x 0 sen xx = 1
E a identidade trigonométrica:
cos x = 1 - sen^2(x2)
Vamos precisar dessas informações para simplificar e calcular o limite.

Passo 2

Vamos reescrever a tangente em termos de seno e cosseno:
tg(4x) = sen(4x)cos(4x)
Substituindo na expressão do limite:
lim x 0 tg(4 x)x = lim x 0 sen(4x)x cdot cos(4x)

Passo 3

Agora, observe que podemos separar a fração da seguinte maneira:
sen(4x)x cdot cos(4x) = sen(4x)4x cdot 4cos(4x)
Isso nos permite isolar o termo que sabemos o limite.

Passo 4

Sabemos que:
lim x 0 sen(4x)4x = 1
Pois é uma aplicação direta da propriedade:
lim x 0 sen xx = 1

Passo 5

Além disso, o cosseno de 0 é 1, então:
lim x 0 4cos(4x) = 4cos(0) = 41 = 4

Passo 6

Agora, multiplicando os dois limites que encontramos:
1 cdot 4 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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