Sabendo-se que lim x 0 sen xx=1 e que cos x=1-sen^2(x2), calcule:
lim x 0 sen(2 x)5 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma limitação para resolver: lim x 0 sin(2x)5x. Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com limites e funções trigonométricas, especificamente seno. Para resolver isso, vamos usar a regra básica que diz que quando o ângulo se aproxima de 0, sin xx se aproxima de 1.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão. Sabemos que sin(2x) pode ser reescrito usando a identidade trigonométrica sin(2x) = 2sin x cos x. Então, vamos substituir isso na nossa expressão original:
sin(2x)5x = 2sin x cos x5x

Passo 3

Agora, vamos separar os termos para facilitar a aplicação do limite conhecido. Podemos reescrever a expressão assim:
2sin x cos x5x = 25 cdot sin xx cdot cos x

Passo 4

Sabemos que limx to 0 sin xx = 1 e que cos x se aproxima de cos 0 = 1 quando x se aproxima de 0. Vamos aplicar esses limites na expressão:
25 cdot limx to 0 sin xx cdot limx to 0 cos x = 25 cdot 1 cdot 1

Resposta

Portanto, o limite é 25.

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