Nos itens a seguir, calcule os limites laterais solicitados e verifique se o limite bilateral existe. Caso o limite bilateral exista, informe seu valor e esboce o gráfico da função.
f(x)=lll2 & se & x<1 -1 & se & x=1 -3 & se & x>1 ; lim x 1^+ f(x), lim x 1^- f(x), lim x 1 f(x)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = 2 & se x < 1 -1 & se x = 1 -3 & se x > 1
A matéria envolvida aqui são os limites laterais e o limite bilateral de uma função. Precisamos calcular:
  1. — o limite pela direita.
  2. — o limite pela esquerda.
  3. — o limite bilateral.
Também vamos verificar se o limite bilateral existe e, se existir, desenhar o gráfico da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite pela direita, ou seja, limx to 1^+ f(x) = -3 . Isso significa que estamos olhando para os valores de quando se aproxima de 1 a partir de valores maiores que 1.
Observando a definição da função:
  • Para , .
Então, à medida que se aproxima de 1 pela direita, sempre será .
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela esquerda, ou seja, limx to 1^- f(x) = 2 . Isso significa que estamos olhando para os valores de quando se aproxima de 1 a partir de valores menores que 1.
Observando a definição da função:
  • Para , .
Então, à medida que se aproxima de 1 pela esquerda, sempre será .
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos verificar o limite bilateral limx to 1^+ f(x) = -3 limx to 1^- f(x) = 2 . Para que esse limite exista, os limites pela direita e pela esquerda devem existir e ser iguais.
Comparando os resultados:
Como , os limites laterais são diferentes.
Portanto, o limite bilateral não existe.

Resposta

  • não existe, pois os limites laterais são diferentes.

Gráfico da Função

No gráfico, podemos representar os pontos e os comportamentos:
  • Para , a função é constante em .
  • No ponto , a função tem o valor .
  • Para , a função é constante em .
Além disso, indicamos com círculos abertos os limites que a função se aproxima de pela direita e pela esquerda.
Gráfico da função f(x)
(Nota: Substitua o link da imagem pelo gráfico correspondente.)

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