Construa o gráfico de cada função abaixo e determine o domínio em cada caso:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir o gráfico da função e determinar o domínio dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais, que são aquelas que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é basicamente todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Portanto, a função não está definida quando . Assim, o domínio da função é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função . O numerador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Então, substituindo na função:
Aqui, não conseguimos simplificar mais, já que o denominador não cancela nenhuma das expressões do numerador.

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
  • Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero, que já identificamos como .
  • Assíntota horizontal: Olhamos para o comportamento da função quando tende ao infinito. Dividindo o grau do numerador pelo denominador, ambos têm grau 1 após simplificação (já que é dividido por ), assim a assíntota horizontal será . Na verdade, nessa função específica, não há assíntota horizontal, mas uma oblíqua, calculada pela divisão polinomial.

Passo 5

Vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos:
  • Interseção com o eixo : Para isso, colocamos na função:
Então, a interseção com o eixo está no ponto .
  • Interseção com o eixo : Para isso, colocamos :
Portanto, as interseções com o eixo estão nos pontos e .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função:
  • Para , a função tende a ou dependendo do valor de .
  • Para , a função também tende a ou inversamente devido à assíntota vertical em .
Isso nos ajuda a desenhar o gráfico, sabendo como a função se comporta nas diferentes regiões.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto . O gráfico apresenta uma assíntota vertical em , intercepta o eixo no ponto e intercepta o eixo nos pontos e . O comportamento da função indica que para e , a função tende ao infinito positivo ou negativo conforme aumenta ou diminui.

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b)
Determine a função afim tal que e .
Seja .Encontre, se existir, o valor de: