Construa o gráfico de cada função abaixo e determine o domínio em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir o gráfico da função
e determinar o domínio dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções racionais, que são aquelas que envolvem frações com polinômios no numerador e denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é basicamente todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Portanto, a função não está definida quando
. Assim, o domínio da função é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função
. O numerador
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Então, substituindo na função:
Aqui, não conseguimos simplificar mais, já que o denominador
não cancela nenhuma das expressões do numerador.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função. As assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca.
-
Assíntota vertical: Ocorre onde o denominador é zero, que já identificamos como
. -
Assíntota horizontal: Olhamos para o comportamento da função quando
tende ao infinito. Dividindo o grau do numerador pelo denominador, ambos têm grau 1 após simplificação (já que é dividido por ), assim a assíntota horizontal será . Na verdade, nessa função específica, não há assíntota horizontal, mas uma oblíqua, calculada pela divisão polinomial.
Passo 5
Vamos encontrar os pontos de interseção com os eixos:
- Interseção com o eixo
: Para isso, colocamos na função:
Então, a interseção com o eixo
está no ponto
.
- Interseção com o eixo
: Para isso, colocamos :
Portanto, as interseções com o eixo
estão nos pontos
e
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função:
- Para
, a função tende a ou dependendo do valor de . - Para
, a função também tende a ou inversamente devido à assíntota vertical em .
Isso nos ajuda a desenhar o gráfico, sabendo como a função se comporta nas diferentes regiões.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais exceto
. O gráfico apresenta uma assíntota vertical em
, intercepta o eixo
no ponto
e intercepta o eixo
nos pontos
e
. O comportamento da função indica que para
e
, a função tende ao infinito positivo ou negativo conforme
aumenta ou diminui.
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catcule os limites:
catcule os limites:
b)
b)
Determine a função afim tal que
e
.
Seja
.Encontre, se existir, o valor de: