Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir o gráfico de um elipsoide definido pela equação
e estudar seus traços. Então, vamos usar a matéria de geometria analítica, especificamente sobre elipsoides. Para resolver isso, precisamos identificar os eixos do elipsoide e entender como ele se comporta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a análise. A equação dada é:
Simplificando os denominadores:
Passo 3
Agora, vamos colocar a equação na forma padrão de um elipsoide, que é:
Comparando com a nossa equação simplificada:
Então, temos que:
-
, logo -
, logo -
, logo
Passo 4
Com esses valores, sabemos que o elipsoide tem seus eixos principais ao longo dos eixos coordenados:
- Eixo
: comprimento - Eixo
: comprimento - Eixo
: comprimento
Isso significa que o elipsoide é mais alongado no eixo
, e mais compacto nos eixos
e
.
Passo 5
Agora, vamos estudar os traços do elipsoide nos planos coordenados:
-
Traço no plano
( ): Substituindona equação: Dividindo por 1:Esse é um elipse com semi-eixose . -
Traço no plano
( ): Substituindo: Ou seja:Outra elipse, agora com semi-eixose . -
Traço no plano
( ): Substituindo: E escrevendo na forma padrão:Mais uma elipse, com semi-eixose .
Resposta
O elipsoide dado pela equação
tem seus eixos principais nos eixos coordenados com comprimentos
(em
),
(em
) e
(em
). Seus traços nos planos coordenados são três elipses: no plano
com semi-eixos
e
, no plano
com semi-eixos
e
, e no plano
com semi-eixos
e
.
Exercícios relacionados
Seja
, considerando
e
determine formas simplificadas para
(a)
(a)
Sejam os conjuntos
e
determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de
e
em relação a:
(b)
(b)
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
©
©
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(h)
(h)