Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e) x^2/(1/4) + y^2/(1/2) + z^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir o gráfico de um elipsoide definido pela equação x^2/(1/4) + y^2/(1/2) + z^2 = 1 e estudar seus traços. Então, vamos usar a matéria de geometria analítica, especificamente sobre elipsoides. Para resolver isso, precisamos identificar os eixos do elipsoide e entender como ele se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a análise. A equação dada é:
Simplificando os denominadores:

Passo 3

Agora, vamos colocar a equação na forma padrão de um elipsoide, que é:
Comparando com a nossa equação simplificada:
Então, temos que:
  • , logo
  • , logo
  • , logo

Passo 4

Com esses valores, sabemos que o elipsoide tem seus eixos principais ao longo dos eixos coordenados:
  • Eixo x: comprimento
  • Eixo y: comprimento
  • Eixo z: comprimento
Isso significa que o elipsoide é mais alongado no eixo z, e mais compacto nos eixos x e y.

Passo 5

Agora, vamos estudar os traços do elipsoide nos planos coordenados:
  1. Traço no plano xy ( z = 0):
    Substituindo z = 0 na equação:
    Dividindo por 1:
    Esse é um elipse com semi-eixos 1/2 e raiz(2)/2.
  2. Traço no plano ( y = 0):
    Substituindo y = 0:
    Ou seja:
    Outra elipse, agora com semi-eixos 1/2 e 1.
  3. Traço no plano ( x = 0):
    Substituindo x = 0:
    E escrevendo na forma padrão:
    Mais uma elipse, com semi-eixos raiz(2)/2 e 1.

Resposta

O elipsoide dado pela equação x^2/(1/4) + y^2/(1/2) + z^2 = 1 tem seus eixos principais nos eixos coordenados com comprimentos 1 (em x), raiz(2) (em y) e (em z). Seus traços nos planos coordenados são três elipses: no plano xy com semi-eixos 1/2 e raiz(2)/2, no plano com semi-eixos 1/2 e 1, e no plano com semi-eixos raiz(2)/2 e 1.

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