Construa o gráfico do elipsoide dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir o gráfico de um elipsoide definido pela equação e estudar seus traços. Então, vamos usar a matéria de geometria analítica, especificamente sobre elipsoides. Para resolver isso, precisamos identificar os eixos do elipsoide e entender como ele se comporta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a análise. A equação dada é:
Simplificando os denominadores:

Passo 3

Agora, vamos colocar a equação na forma padrão de um elipsoide, que é:
Comparando com a nossa equação simplificada:
Então, temos que:
  • , logo
  • , logo
  • , logo

Passo 4

Com esses valores, sabemos que o elipsoide tem seus eixos principais ao longo dos eixos coordenados:
  • Eixo : comprimento
  • Eixo : comprimento
  • Eixo : comprimento
Isso significa que o elipsoide é mais alongado no eixo , e mais compacto nos eixos e .

Passo 5

Agora, vamos estudar os traços do elipsoide nos planos coordenados:
  1. Traço no plano ( ):
    Substituindo na equação:
    Dividindo por 1:
    Esse é um elipse com semi-eixos e .
  2. Traço no plano ( ):
    Substituindo :
    Ou seja:
    Outra elipse, agora com semi-eixos e .
  3. Traço no plano ( ):
    Substituindo :
    E escrevendo na forma padrão:
    Mais uma elipse, com semi-eixos e .

Resposta

O elipsoide dado pela equação tem seus eixos principais nos eixos coordenados com comprimentos (em ), (em ) e (em ). Seus traços nos planos coordenados são três elipses: no plano com semi-eixos e , no plano com semi-eixos e , e no plano com semi-eixos e .

Exercícios relacionados

Seja , considerando e determine formas simplificadas para
(a)
Sejam os conjuntos e determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de e em relação a:
(b)
Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
©
Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
(h)