Construa o gráfico das funções abaixo, indicando seus principais elementos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é construir o gráfico da função
. Isso envolve entender de onde a função vem, quais são os seus principais elementos como interceptos e assíntotas, e como ela se comporta em diferentes partes do gráfico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de análise de funções, como encontrar domínio, interceptos, assíntotas e entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Isso significa encontrar todos os valores de
para os quais a função está definida. A função está na forma de uma fração, então o denominador não pode ser zero.
Temos:
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a função cruza os eixos
e
.
-
Intercepto com o eixo
: É onde . Então, o intercepto com o eixoé . -
Interceptos com o eixo
: São onde . O numerador precisa ser zero:Então,ou . Mas lembrando queestá fora do domínio, então o único intercepto com o eixo é .
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas verticais, que acontecem onde a função não está definida e o denominador é zero.
Da Passo 2, vimos que
e
tornam o denominador zero. Então, temos duas assíntotas verticais:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal, que descreve o comportamento da função à medida que
vai para
.
Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador:
- Grau do numerador: 2 (de
) - Grau do denominador: 2 (de
)
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
Então, a assíntota horizontal é
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos do domínio, separados pelas assíntotas verticais
e
:
-
Para
: - Vamos escolher
: Aproxima-se de conforme diminui.
- Vamos escolher
-
Para
: - Vamos escolher
: Já sabemos que é o único intercepto.
- Vamos escolher
-
Para
: - Vamos escolher
: Aproxima-se de conforme aumenta.
- Vamos escolher
Isso ajuda a entender como a função se comporta em cada intervalo e como ela se aproxima das assíntotas.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Intercepto:
- Assíntotas verticais:
e - Assíntota horizontal:
- Comportamento:
- À esquerda de
, a função está se aproximando de de cima. - Entre
e , a função cruza o ponto . - À direita de
, a função está se aproximando de de baixo.
- À esquerda de
Resposta
O gráfico da função
possui um intercepto em
, assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. A função se comporta de modo que à esquerda de
e à direita de
ela se aproxima da assíntota horizontal, enquanto entre essas assíntotas cruza o ponto
.