Construa o gráfico das funções abaixo, indicando seus principais elementos: y = (x^2 + x) / (1 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é construir o gráfico da função . Isso envolve entender de onde a função vem, quais são os seus principais elementos como interceptos e assíntotas, e como ela se comporta em diferentes partes do gráfico. Para isso, vamos precisar usar conceitos de análise de funções, como encontrar domínio, interceptos, assíntotas e entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. Isso significa encontrar todos os valores de para os quais a função está definida. A função está na forma de uma fração, então o denominador não pode ser zero.
Temos:
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde a função cruza os eixos e .
  • Intercepto com o eixo : É onde .
    Então, o intercepto com o eixo é .
  • Interceptos com o eixo : São onde .
    O numerador precisa ser zero:
    Então, ou .
    Mas lembrando que está fora do domínio, então o único intercepto com o eixo é .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas verticais, que acontecem onde a função não está definida e o denominador é zero.
Da Passo 2, vimos que e tornam o denominador zero. Então, temos duas assíntotas verticais:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal, que descreve o comportamento da função à medida que vai para .
Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador:
  • Grau do numerador: 2 (de )
  • Grau do denominador: 2 (de )
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau:
í
Então, a assíntota horizontal é .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função em diferentes intervalos do domínio, separados pelas assíntotas verticais e :
  1. Para :
    • Vamos escolher : Aproxima-se de conforme diminui.
  2. Para :
    • Vamos escolher : Já sabemos que é o único intercepto.
  3. Para :
    • Vamos escolher : Aproxima-se de conforme aumenta.
Isso ajuda a entender como a função se comporta em cada intervalo e como ela se aproxima das assíntotas.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico da função :
  • Intercepto:
  • Assíntotas verticais: e
  • Assíntota horizontal:
  • Comportamento:
    • À esquerda de , a função está se aproximando de de cima.
    • Entre e , a função cruza o ponto .
    • À direita de , a função está se aproximando de de baixo.

Resposta

O gráfico da função possui um intercepto em , assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . A função se comporta de modo que à esquerda de e à direita de ela se aproxima da assíntota horizontal, enquanto entre essas assíntotas cruza o ponto .

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