Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(g) f(x) = x * raiz(3*x - 4)

Passo 1

Vamos entender o problema: temos a função e precisamos encontrar seus pontos críticos. Um ponto crítico ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos usar o teste da primeira derivada para verificar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos relativos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Para isso, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. A função pode ser escrita como .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
  • então .
  • , para derivar , usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Portanto, a derivada de é:

Passo 5

Vamos simplificar :
Para facilitar a soma, vamos trazer os termos para o mesmo denominador:

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero e verificamos onde a derivada não existe.
Primeiro, igualar a zero:
Agora, verificar onde a derivada não existe: não existe quando .

Passo 7

Então, os pontos críticos são e .

Passo 8

Agora, vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos relativos.

Passo 9

Vamos analisar os sinais da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
Para :
  • Escolha , por exemplo, : , que é negativo.
  • Escolha , por exemplo, : , que é positivo.
Como a derivada muda de negativa para positiva, é um ponto de mínimo relativo.
Para :
A derivada não está definida, mas analisando o comportamento da função ao redor desse ponto, percebemos que a derivada muda de negativa para positiva, indicando também um ponto de mínimo relativo.

Resposta

Os pontos críticos são e . O ponto é um ponto de mínimo relativo.

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