Nos itens abaixo, determine os pontos críticos da função dada. Use o teste da primeira derivada para determinar se os pontos críticos encontrados são extremos relativos.
(g)
(g)
Passo 1
Vamos entender o problema: temos a função
e precisamos encontrar seus pontos críticos. Um ponto crítico ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe. Vamos usar o teste da primeira derivada para verificar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos relativos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Para isso, precisamos usar a regra do produto e a regra da cadeia. A função pode ser escrita como
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
-
então . -
, para derivar , usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Portanto, a derivada de
é:
Passo 5
Vamos simplificar
:
Para facilitar a soma, vamos trazer os termos para o mesmo denominador:
Passo 6
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero e verificamos onde a derivada não existe.
Primeiro, igualar a zero:
Agora, verificar onde a derivada não existe:
não existe quando
.
Passo 7
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 8
Agora, vamos usar o teste da primeira derivada para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos relativos.
Passo 9
Vamos analisar os sinais da derivada antes e depois de cada ponto crítico.
Para
:
- Escolha
, por exemplo, : , que é negativo. - Escolha
, por exemplo, : , que é positivo.
Como a derivada muda de negativa para positiva,
é um ponto de mínimo relativo.
Para
:
A derivada não está definida, mas analisando o comportamento da função ao redor desse ponto, percebemos que a derivada muda de negativa para positiva, indicando também um ponto de mínimo relativo.
Resposta
Os pontos críticos são
e
. O ponto
é um ponto de mínimo relativo.