Construa o gráfico das funções abaixo, indicando seus principais elementos:
Passo 1
Beleza! Vamos construir o gráfico da função
. Isso faz parte do estudo de funções polinomiais no Álgebra. Para resolver isso, vamos precisar identificar os principais elementos do gráfico, como interceptos, pontos de máximo e mínimo, e o comportamento da função conforme
vai para infinito positivo e negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a função para facilitar o trabalho:
. Isso é um polinômio de terceiro grau, também conhecido como função cúbica. Funções cúbicas têm gráficos que podem mudar de direção até duas vezes.
Passo 3
Vamos encontrar os interceptos. O intercepto com o eixo
ocorre quando
. Substituindo na função:
Então, o intercepto
é
.
Passo 4
Para encontrar os interceptos com o eixo
, precisamos resolver
:
Isso pode ser um pouco complicado, mas vamos tentar fatores simples. Testando
:
Teste
:
Teste
:
Então,
é uma raiz. Podemos fatorar:
Como
não tem raízes reais, o único intercepto
é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas para identificar os pontos de máximo e mínimo, que são onde a inclinação da curva muda. A primeira derivada é:
Vamos igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
e
Passo 6
Vamos encontrar os valores de
nesses pontos:
Para :
Para
Para
:
Então, temos um ponto de máximo em
e um ponto de mínimo em
.
Passo 7
Finalmente, vamos analisar o comportamento da função conforme
vai para
e
. Como o termo de maior grau é
:
- Quando
, - Quando
,
Resposta
O gráfico da função
tem intercepto com o eixo
em
, intercepto com o eixo
em
, um ponto de máximo em
, e um ponto de mínimo em
. O gráfico começa subindo de
quando
vai para
, atinge o máximo, desce até o mínimo, passa pelo intercepto
e continua descendo para
conforme
aumenta.