Construa o gráfico das funções abaixo, indicando seus principais elementos: y = 2 - x + 2 x^2 - x^3

Passo 1

Beleza! Vamos construir o gráfico da função . Isso faz parte do estudo de funções polinomiais no Álgebra. Para resolver isso, vamos precisar identificar os principais elementos do gráfico, como interceptos, pontos de máximo e mínimo, e o comportamento da função conforme vai para infinito positivo e negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a função para facilitar o trabalho: . Isso é um polinômio de terceiro grau, também conhecido como função cúbica. Funções cúbicas têm gráficos que podem mudar de direção até duas vezes.

Passo 3

Vamos encontrar os interceptos. O intercepto com o eixo ocorre quando . Substituindo na função:
Então, o intercepto é .

Passo 4

Para encontrar os interceptos com o eixo , precisamos resolver :
Isso pode ser um pouco complicado, mas vamos tentar fatores simples. Testando :
Teste :
Teste :
Então, é uma raiz. Podemos fatorar:
Como não tem raízes reais, o único intercepto é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas para identificar os pontos de máximo e mínimo, que são onde a inclinação da curva muda. A primeira derivada é:
Vamos igualar a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, e

Passo 6

Vamos encontrar os valores de nesses pontos:
Para :
Para :
Então, temos um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .

Passo 7

Finalmente, vamos analisar o comportamento da função conforme vai para e . Como o termo de maior grau é :
  • Quando ,
  • Quando ,

Resposta

O gráfico da função tem intercepto com o eixo em , intercepto com o eixo em , um ponto de máximo em , e um ponto de mínimo em . O gráfico começa subindo de quando vai para , atinge o máximo, desce até o mínimo, passa pelo intercepto e continua descendo para conforme aumenta.

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