Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
.

Passo 1

Então, você quer construir o gráfico da função no intervalo . Vamos usar conhecimentos de funções lineares e da função tangente para resolver isso. Precisaremos entender como cada parte da função se comporta e como elas se combinam no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Essa é uma função linear simples, com inclinação positiva. Isso significa que, conforme aumenta, também aumenta de forma constante.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função . A tangente de tem algumas características importantes:
  • Ela é periódica e tem assíntotas verticais onde , ou seja, em .
  • No intervalo , começa em 0 e cresce para infinito conforme se aproxima de .

Passo 4

A função combina essas duas funções. Para entender como isso afeta o gráfico:
  • O termo faz o gráfico crescer linearmente.
  • O termo subtrai a função tangente, o que significa que onde cresce rapidamente, pode diminuir ou crescer mais lentamente.

Passo 5

Vamos calcular alguns pontos-chave para plotar o gráfico:
  • Em :
  • Em :
  • Conforme se aproxima de :[
    \tan(x) ) tende ao infinito, então tende a .

Passo 6

Vamos considerar o comportamento da função:
  • No intervalo , começa em 0.
  • Inicialmente, como aumenta e também aumenta, mas a taxa de crescimento de é maior, o gráfico de aumenta até certo ponto e depois começa a diminuir.
  • Perto de , desce rapidamente para valores muito baixos devido ao funcionamento da tangente.

Passo 7

Com todos esses pontos e comportamentos, podemos esboçar o gráfico:
  • Começa em (0, 0).
  • Passa por que é aproximadamente (0,785, 2,14).
  • Desce rapidamente conforme se aproxima de .

Resposta

O gráfico da função no intervalo começa em (0, 0), passa pelo ponto aproximadamente em e desce rapidamente para conforme se aproxima de .

Exercícios relacionados

Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
Assíntota(s), se existirem, das funções dadas abaixo:
Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
Assíntota(s), se existirem, das funções dadas abaixo: