Construa o gráfico das funções dadas abaixo:
.
Passo 1
Então, você quer construir o gráfico da função
no intervalo
. Vamos usar conhecimentos de funções lineares e da função tangente para resolver isso. Precisaremos entender como cada parte da função se comporta e como elas se combinam no gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Essa é uma função linear simples, com inclinação positiva. Isso significa que, conforme
aumenta,
também aumenta de forma constante.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a função
. A tangente de
tem algumas características importantes:
- Ela é periódica e tem assíntotas verticais onde
, ou seja, em . - No intervalo
, começa em 0 e cresce para infinito conforme se aproxima de .
Passo 4
A função
combina essas duas funções. Para entender como isso afeta o gráfico:
- O termo
faz o gráfico crescer linearmente. - O termo
subtrai a função tangente, o que significa que onde cresce rapidamente, pode diminuir ou crescer mais lentamente.
Passo 5
Vamos calcular alguns pontos-chave para plotar o gráfico:
- Em
: - Em
: - Conforme
se aproxima de :[
\tan(x) ) tende ao infinito, entãotende a .
Passo 6
Vamos considerar o comportamento da função:
- No intervalo
, começa em 0. - Inicialmente, como
aumenta e também aumenta, mas a taxa de crescimento de é maior, o gráfico de aumenta até certo ponto e depois começa a diminuir. - Perto de
, desce rapidamente para valores muito baixos devido ao funcionamento da tangente.
Passo 7
Com todos esses pontos e comportamentos, podemos esboçar o gráfico:
- Começa em (0, 0).
- Passa por
que é aproximadamente (0,785, 2,14). - Desce rapidamente conforme se aproxima de
.
Resposta
O gráfico da função
no intervalo
começa em (0, 0), passa pelo ponto aproximadamente em
e desce rapidamente para
conforme
se aproxima de
.
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