Construa o gráfico das funções definidas em R em cada um dos ítens abaixo: f(x) = -x^2 + x + 1

Passo 1

Beleza, então a gente vai construir o gráfico da função . Isso envolve entender um pouco sobre funções quadráticas, que são aquelas onde o maior expoente de é 2. Para desenhar o gráfico, vamos precisar encontrar alguns pontos chave, como o vértice da parábola, os pontos onde a função corta os eixos, e entender a direção em que a parábola se abre.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo do gráfico, dependendo do sinal do coeficiente de . A fórmula para encontrar as coordenadas do vértice é:
No nosso caso, a função é , então e .
Calculando:
Agora, substituindo na função para encontrar :
Então, o vértice está em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde a função corta o eixo , ou seja, os zeros da função. Para isso, resolvemos :
Multiplicando ambos os lados por -1 para facilitar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:

Passo 4

Vamos encontrar também o ponto onde a função corta o eixo , que é simplesmente :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .

Passo 5

Com essas informações, sabemos que a parábola se abre para baixo (porque o coeficiente de é negativo), tem um vértice em , corta o eixo nos pontos e , e corta o eixo em . Com esses pontos, dá para esboçar o gráfico da função.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola que se abre para baixo, com vértice em . Ela corta o eixo nos pontos e , e o eixo em . Com esses pontos, o gráfico pode ser desenhado conforme descrito.

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