Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou de mínimo de cada uma das funções abaixo, definidas em :

Passo 1

Então, a gente tem a função definida em . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor máximo ou mínimo dessa função e identificar o ponto onde esse máximo ou mínimo ocorre. Para resolver isso, vamos usar um pouquinho de cálculo, especificamente derivadas, que ajudam a encontrar esses pontos especiais na função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e onde essa inclinação é zero, temos potenciais máximos ou mínimos.
Aderivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde essa derivada é igual a zero para descobrir os pontos críticos:
Resolvendo para :
Então, o ponto crítico ocorre em .

Passo 4

Precisamos determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo. Olhando para o coeficiente de na função original, que é -1 (negativo), sabemos que a parábola está voltada para baixo. Isso significa que o ponto crítico é um máximo.

Passo 5

Vamos agora encontrar o valor máximo substituindo na função original:
Calculando passo a passo:
Então, o valor máximo é .

Resposta

A função tem um valor máximo de no ponto .

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