Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir o gráfico de um hiperboloide de duas folhas, dado pela equação
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um hiperboloide de duas folhas e como identificar seus traços, ou seja, suas interseções com os planos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um hiperboloide de duas folhas tem uma forma parecida com duas superfícies curvas que se abrem em direções opostas. A equação geral desse tipo de superfície é
, onde
,
e
são constantes que determinam a “largura” e “altura” da superfície.
Passo 3
Vamos identificar os valores de
,
e
na nossa equação:
Comparando com a equação geral, temos:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os traços dessa superfície, ou seja, as interseções com os planos
,
e
.
1. Traço no plano
(
)
Substituindo
na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isso não tem solução real, então não há traço no plano
.
2. Traço no plano
(
)
Substituindo
:
Multiplicando por 4:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano
.
3. Traço no plano
(
)
Substituindo
:
Multiplicando por 16:
Essa também é uma equação de hipérbole, agora no plano
.
Passo 5
Com os traços definidos, podemos esboçar o gráfico:
- No plano
, temos uma hipérbole centrada na origem, abrindo-se ao longo do eixo . - No plano
, outra hipérbole centrada na origem, mas abrindo-se ao longo do eixo também. - Não há interseção com o plano
, o que indica que as duas folhas do hiperboloide não tocam esse plano.
Visualmente, isso resulta em duas superfícies curvas que se estendem indefinidamente em direções opostas ao longo do eixo
, sem tocar o plano
.
Resposta
O gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação
consiste em duas superfícies hiperbólicas centradas na origem, abrindo-se ao longo do eixo
. Seus traços nos planos
e
são hipérboles, enquanto não há interseção com o plano
. As duas folhas se estendem indefinidamente em direções opostas ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
Seja
, considerando
e
determine formas simplificadas para
© com
e
©
em cada um dos seguintes casos: (a)
, (b)
e ©
.
(d) Mostre que todas as curvas nas partes (a) e (b) têm os mesmos focos, não importando o valor de .
(d) Mostre que todas as curvas nas partes (a) e (b) têm os mesmos focos, não importando o valor de
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(e)
(e)
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b) .
(b)