Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir o gráfico de um hiperboloide de duas folhas, dado pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um hiperboloide de duas folhas e como identificar seus traços, ou seja, suas interseções com os planos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um hiperboloide de duas folhas tem uma forma parecida com duas superfícies curvas que se abrem em direções opostas. A equação geral desse tipo de superfície é , onde , e são constantes que determinam a “largura” e “altura” da superfície.

Passo 3

Vamos identificar os valores de , e na nossa equação:
Comparando com a equação geral, temos:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os traços dessa superfície, ou seja, as interseções com os planos , e .

1. Traço no plano ( )

Substituindo na equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Isso não tem solução real, então não há traço no plano .

2. Traço no plano ( )

Substituindo :
Multiplicando por 4:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano .

3. Traço no plano ( )

Substituindo :
Multiplicando por 16:
Essa também é uma equação de hipérbole, agora no plano .

Passo 5

Com os traços definidos, podemos esboçar o gráfico:
  • No plano , temos uma hipérbole centrada na origem, abrindo-se ao longo do eixo .
  • No plano , outra hipérbole centrada na origem, mas abrindo-se ao longo do eixo também.
  • Não há interseção com o plano , o que indica que as duas folhas do hiperboloide não tocam esse plano.
Visualmente, isso resulta em duas superfícies curvas que se estendem indefinidamente em direções opostas ao longo do eixo , sem tocar o plano .

Resposta

O gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação consiste em duas superfícies hiperbólicas centradas na origem, abrindo-se ao longo do eixo . Seus traços nos planos e são hipérboles, enquanto não há interseção com o plano . As duas folhas se estendem indefinidamente em direções opostas ao longo do eixo .

Exercícios relacionados

Seja , considerando e determine formas simplificadas para
© com e
em cada um dos seguintes casos: (a) , (b) e © .
(d) Mostre que todas as curvas nas partes (a) e (b) têm os mesmos focos, não importando o valor de .
Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
(e)
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b) .