em cada um dos seguintes casos: (a)
, (b)
e ©
.
(d) Mostre que todas as curvas nas partes (a) e (b) têm os mesmos focos, não importando o valor de
.
(d) Mostre que todas as curvas nas partes (a) e (b) têm os mesmos focos, não importando o valor de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem a equação:
O que precisamos fazer é analisar essa equação em diferentes situações para o valor de
:
(a) quando
,
(b) quando
,
© quando
,
(d) mostrar que nas partes (a) e (b) todas as curvas têm os mesmos focos, independente do valor de
.
Vamos precisar entender sobre cônicas, que são curvas como elipses e hipérboles, e como variando os valores dos denominadores na equação geral elas mudam de tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a equação dada é da forma geral de uma cônica:
Dependendo dos valores de
e
, a cônica pode ser uma elipse ou uma hipérbole:
- Elipse: Se
e . - Hipérbole: Se
e têm sinais opostos.
No nosso caso,
e
. Então, vamos analisar os sinais de
e
em cada caso de
.
Passo 3
Caso (a):
Aqui,
. Como
, então
. Então, tanto
quanto
são positivos.
Isso significa que a equação representa uma elipse.
Passo 4
Caso (b):
Nessa situação,
, mas
porque
.
Então,
é positivo e
é negativo, o que indica que a equação representa uma hipérbole.
Passo 5
Caso ©:
Aqui,
, e
também, já que
torna
negativo.
Ambos
e
são negativos. Podemos multiplicar a equação inteira por
para simplificar:
Agora, os denominadores são positivos, mas igualamos a
, o que não corresponde a uma cônica real. Portanto, não existe uma curva real para
.
Passo 6
Caso (d): Focos das curvas nas partes (a) e (b)
Queremos mostrar que, tanto para
quanto para
, as curvas têm os mesmos focos.
Para uma elipse (
):
Os focos estão localizados a uma distância
do centro, onde:
Para a hipérbole (
):
Os focos também estão a uma distância
do centro, mas a fórmula é:
No nosso caso, observando as relações:
-
Para a elipse:
, , então . -
Para a hipérbole:
, , então . Mas como estamos considerando que as curvas tenham os mesmos focos, concluímos que a distância dos focos permanece constante em unidades, independentemente do valor de dentro dos intervalos analisados.
Resposta
Analisando a equação
:
(a) Para
, a curva é uma elipse.
(b) Para
, a curva é uma hipérbole.
© Para
, não existe uma curva real correspondente.
(d) Nas partes (a) e (b), todas as curvas possuem os mesmos focos, independentemente do valor de
.
Exercícios relacionados
Sejam os conjuntos
e
determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de
e
em relação a:
(e)
(e)
Sejam os conjuntos
e
determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de
e
em relação a:
©
©
Seja
, considerando
e
determine formas simplificadas para
© com
e
©
Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b) .
(b)