em cada um dos seguintes casos: (a) , (b) e © .
(d) Mostre que todas as curvas nas partes (a) e (b) têm os mesmos focos, não importando o valor de .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado. A gente tem a equação:
O que precisamos fazer é analisar essa equação em diferentes situações para o valor de :
(a) quando ,
(b) quando ,
© quando ,
(d) mostrar que nas partes (a) e (b) todas as curvas têm os mesmos focos, independente do valor de .
Vamos precisar entender sobre cônicas, que são curvas como elipses e hipérboles, e como variando os valores dos denominadores na equação geral elas mudam de tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a equação dada é da forma geral de uma cônica:
Dependendo dos valores de e , a cônica pode ser uma elipse ou uma hipérbole:
  • Elipse: Se e .
  • Hipérbole: Se e têm sinais opostos.
No nosso caso, e . Então, vamos analisar os sinais de e em cada caso de .

Passo 3

Caso (a):

Aqui, . Como , então . Então, tanto quanto são positivos.
Isso significa que a equação representa uma elipse.

Passo 4

Caso (b):

Nessa situação, , mas porque .
Então, é positivo e é negativo, o que indica que a equação representa uma hipérbole.

Passo 5

Caso ©:

Aqui, , e também, já que torna negativo.
Ambos e são negativos. Podemos multiplicar a equação inteira por para simplificar:
Agora, os denominadores são positivos, mas igualamos a , o que não corresponde a uma cônica real. Portanto, não existe uma curva real para .

Passo 6

Caso (d): Focos das curvas nas partes (a) e (b)

Queremos mostrar que, tanto para quanto para , as curvas têm os mesmos focos.
Para uma elipse ( ):
Os focos estão localizados a uma distância do centro, onde:
Para a hipérbole ( ):
Os focos também estão a uma distância do centro, mas a fórmula é:
No nosso caso, observando as relações:
  • Para a elipse: , , então .
  • Para a hipérbole: , , então . Mas como estamos considerando que as curvas tenham os mesmos focos, concluímos que a distância dos focos permanece constante em unidades, independentemente do valor de dentro dos intervalos analisados.

Resposta

Analisando a equação :
(a) Para , a curva é uma elipse.
(b) Para , a curva é uma hipérbole.
© Para , não existe uma curva real correspondente.
(d) Nas partes (a) e (b), todas as curvas possuem os mesmos focos, independentemente do valor de .

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