Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre hiperboloides de uma folha. A equação que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um hiperboloide de uma folha, identificar os componentes da equação e analisar os traços (cortes) do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de superfície que temos. A equação dada é:
Isso se encaixa na forma geral de um hiperboloide de uma folha, que é:
Aqui,
,
e
são constantes que determinam as dimensões da superfície.
Passo 3
Vamos identificar os valores de
,
e
na nossa equação:
Comparando com a forma geral:
Então,
,
e
.
Passo 4
Agora, vamos estudar os traços da superfície, ou seja, os cortes que fazemos com planos coordenados para visualizar melhor a forma do gráfico.
Traço no Plano
Substituindo
na equação:
Esta é a equação de uma elipse no plano
com semi-eixos de comprimento 2 e 4.
Traços nos Planos
e
Plano
Substituindo
:
Dependendo do valor de
, isso pode representar uma hipérbole ou nenhum traço real.
Plano
Substituindo
:
Novamente, dependendo de
, isso pode ser uma hipérbole ou nenhum traço real.
Passo 5
Com base nos traços, podemos visualizar o hiperboloide de uma folha:
- No plano
, temos uma elipse maior. - Conforme nos afastamos do plano
(valores positivos ou negativos de ), as seções transversais tornam-se hipérboles. - Isso indica que a superfície se abre ao longo do eixo
, formando uma única folha cont��nua.
Resposta
O gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação
possui uma elipse no plano
com semi-eixos 2 e 4, e hipérboles em planos paralelos ao eixo
. A superfície se abre ao longo do eixo
, formando uma única folha contínua.
Exercícios relacionados
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(e)
(e)
Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b) .
(b)
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(b)
(b)
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(d) , com
(d)