Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b) x^2/4 + y^2/16 - z^2/4 = 1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre hiperboloides de uma folha. A equação que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um hiperboloide de uma folha, identificar os componentes da equação e analisar os traços (cortes) do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de superfície que temos. A equação dada é:
Isso se encaixa na forma geral de um hiperboloide de uma folha, que é:
Aqui, , e são constantes que determinam as dimensões da superfície.

Passo 3

Vamos identificar os valores de , e na nossa equação:
Comparando com a forma geral:
Então, , e .

Passo 4

Agora, vamos estudar os traços da superfície, ou seja, os cortes que fazemos com planos coordenados para visualizar melhor a forma do gráfico.

Traço no Plano

Substituindo na equação:
Esta é a equação de uma elipse no plano com semi-eixos de comprimento 2 e 4.

Traços nos Planos e

Plano

Substituindo :
Dependendo do valor de , isso pode representar uma hipérbole ou nenhum traço real.

Plano

Substituindo :
Novamente, dependendo de , isso pode ser uma hipérbole ou nenhum traço real.

Passo 5

Com base nos traços, podemos visualizar o hiperboloide de uma folha:
  • No plano , temos uma elipse maior.
  • Conforme nos afastamos do plano (valores positivos ou negativos de ), as seções transversais tornam-se hipérboles.
  • Isso indica que a superfície se abre ao longo do eixo , formando uma única folha cont��nua.

Resposta

O gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação possui uma elipse no plano com semi-eixos 2 e 4, e hipérboles em planos paralelos ao eixo . A superfície se abre ao longo do eixo , formando uma única folha contínua.

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