Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de construir o gráfico de um hiperboloide de duas folhas dado pela equação:
Nesse exercício, vamos trabalhar com geometria analítica, focando em superfícies quadricas. Precisamos entender como identificar e representar graficamente um hiperboloide de duas folhas, além de analisar seus traços (interseções com os planos coordenados).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um hiperboloide de duas folhas. É uma superfície quádica que pode ser comparada a duas folhas de hipérbole estendidas no espaço tridimensional. A equação geral desse tipo de hiperboloide é:
No nosso caso, temos:
Podemos reescrever a equação para ficar no formato padrão:
Note que há um sinal negativo no lado direito, o que indica que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos que nos ajudarão a esboçar o gráfico. Geralmente, fazemos isso encontrando os traços nos planos coordenados:
-
Traço no plano
(quando ): Substituindona equação: Multiplicando ambos os lados por: Esta é a equação de uma hipérbole no plano. -
Traço no plano
(quando ): Substituindona equação: Essa equação não possui soluções reais, o que significa que não há interseção com o plano. -
Traço no plano
(quando ): Substituindona equação: Reorganizando:Esta também é a equação de uma hipérbole, mas no plano.
Passo 4
Com os traços identificados, podemos começar a esboçar o gráfico:
-
No plano
: Temos uma hipérbole centralizada na origem, abrindo-se na direção negativa de e positiva de . -
No plano
: Outra hipérbole na origem, abrindo-se na direção positiva de e negativa de .
Como não há interseção com o plano
, isso indica que o hiperboloide de duas folhas não cruza esse plano.
Passo 5
Para visualizar melhor, vamos identificar os vértices do hiperboloide. Os vértices são os pontos mais próximos ao centro (origem) em cada direção.
-
Eixo
: De , temos . -
Eixo
: De , temos . -
Eixo
: Não há vértices visíveis no eixo devido à natureza da equação.
Portanto, os vértices são nos pontos
e
ao longo do eixo
, e
e
ao longo do eixo
.
Passo 6
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico do hiperboloide de duas folhas:
-
Desenhe os planos coordenados
, , e . -
No plano
, desenhe a hipérbole com vértices em e . -
No plano
, desenhe a hipérbole com vértices em e . -
Note que não há interseção com o plano
, então essa parte do gráfico permanece vazia. -
Unindo as partes das hipérboles, teremos duas folhas separadas, simétricas em relação ao plano
, indicando um hiperboloide de duas folhas.
Resposta
O gráfico da equação
representa um hiperboloide de duas folhas, composto por duas superfícies hiperbólicas separadas simétricas em relação ao plano
, com vértices em
,
,
e
.
Exercícios relacionados
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(d) .
(d)
Seja
, considerando
e
determine formas simplificadas para
(b) com
e
(b)
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(a) , com
(a)
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e) .
(e)