Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de construir o gráfico de um hiperboloide de duas folhas dado pela equação:
Nesse exercício, vamos trabalhar com geometria analítica, focando em superfícies quadricas. Precisamos entender como identificar e representar graficamente um hiperboloide de duas folhas, além de analisar seus traços (interseções com os planos coordenados).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um hiperboloide de duas folhas. É uma superfície quádica que pode ser comparada a duas folhas de hipérbole estendidas no espaço tridimensional. A equação geral desse tipo de hiperboloide é:
No nosso caso, temos:
Podemos reescrever a equação para ficar no formato padrão:
Note que há um sinal negativo no lado direito, o que indica que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas.

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos que nos ajudarão a esboçar o gráfico. Geralmente, fazemos isso encontrando os traços nos planos coordenados:
  1. Traço no plano (quando ):
    Substituindo na equação:
    Multiplicando ambos os lados por :
    Esta é a equação de uma hipérbole no plano .
  2. Traço no plano (quando ):
    Substituindo na equação:
    Essa equação não possui soluções reais, o que significa que não há interseção com o plano .
  3. Traço no plano (quando ):
    Substituindo na equação:
    Reorganizando:
    Esta também é a equação de uma hipérbole, mas no plano .

Passo 4

Com os traços identificados, podemos começar a esboçar o gráfico:
  • No plano : Temos uma hipérbole centralizada na origem, abrindo-se na direção negativa de e positiva de .
  • No plano : Outra hipérbole na origem, abrindo-se na direção positiva de e negativa de .
Como não há interseção com o plano , isso indica que o hiperboloide de duas folhas não cruza esse plano.

Passo 5

Para visualizar melhor, vamos identificar os vértices do hiperboloide. Os vértices são os pontos mais próximos ao centro (origem) em cada direção.
  • Eixo : De , temos .
  • Eixo : De , temos .
  • Eixo : Não há vértices visíveis no eixo devido à natureza da equação.
Portanto, os vértices são nos pontos e ao longo do eixo , e e ao longo do eixo .

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico do hiperboloide de duas folhas:
  1. Desenhe os planos coordenados , , e .
  2. No plano , desenhe a hipérbole com vértices em e .
  3. No plano , desenhe a hipérbole com vértices em e .
  4. Note que não há interseção com o plano , então essa parte do gráfico permanece vazia.
  5. Unindo as partes das hipérboles, teremos duas folhas separadas, simétricas em relação ao plano , indicando um hiperboloide de duas folhas.

Resposta

O gráfico da equação representa um hiperboloide de duas folhas, composto por duas superfícies hiperbólicas separadas simétricas em relação ao plano , com vértices em , , e .

Exercícios relacionados

Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(d) .
Seja , considerando e determine formas simplificadas para
(b) com e
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(a) , com
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e) .