Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e) -x^2/(1/4) + y^2/(1/2) + z^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir o gráfico de um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície tridimensional bem interessante. A equação que temos é:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as formas das equações quadráticas em 3D e como identificar os diferentes traços dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixá-la mais fácil de trabalhar. Observamos que:
Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos colocar a equação na forma padrão de um hiperboloide de uma folha. A forma geral é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar que:

Passo 4

Com esses valores, sabemos que o hiperboloide de uma folha terá os eixos direcionados ao longo dos eixos y, z e x. O termo negativo está associado ao eixo x, o que indica que a abertura principal da superfície está ao longo desse eixo.

Passo 5

Vamos agora estudar os traços, ou seja, as interseções do hiperboloide com os planos coordenados.
  1. Traço no plano xy (z=0):
Isso representa uma hipérbole no plano xy.
  1. Traço no plano xz (y=0):
Outra hipérbole, agora no plano xz.
  1. Traço no plano yz (x=0):
Isso é uma elipse no plano yz.

Passo 6

Com todos esses traços, conseguimos visualizar melhor o hiperboloide de uma folha. Ele possui duas “ribas” que se abrem ao longo do eixo x, e suas interseções com os planos coordenados revelam hipérboles e elipses características.

Resposta

O gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação
é uma superfície tridimensional com abertura ao longo do eixo x, composta por hipérboles nos planos xy e xz, e uma elipse no plano yz. As “ribas” do hiperboloide se estendem indefinidamente ao longo do eixo x, formando uma estrutura simétrica e contínua.

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