Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa construir o gráfico de um hiperboloide de uma folha, que é uma superfície tridimensional bem interessante. A equação que temos é:
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as formas das equações quadráticas em 3D e como identificar os diferentes traços dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para deixá-la mais fácil de trabalhar. Observamos que:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos colocar a equação na forma padrão de um hiperboloide de uma folha. A forma geral é:
Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar que:
Passo 4
Com esses valores, sabemos que o hiperboloide de uma folha terá os eixos direcionados ao longo dos eixos y, z e x. O termo negativo está associado ao eixo x, o que indica que a abertura principal da superfície está ao longo desse eixo.
Passo 5
Vamos agora estudar os traços, ou seja, as interseções do hiperboloide com os planos coordenados.
- Traço no plano xy (z=0):
Isso representa uma hipérbole no plano xy.
- Traço no plano xz (y=0):
Outra hipérbole, agora no plano xz.
- Traço no plano yz (x=0):
Isso é uma elipse no plano yz.
Passo 6
Com todos esses traços, conseguimos visualizar melhor o hiperboloide de uma folha. Ele possui duas “ribas” que se abrem ao longo do eixo x, e suas interseções com os planos coordenados revelam hipérboles e elipses características.
Resposta
O gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação
é uma superfície tridimensional com abertura ao longo do eixo x, composta por hipérboles nos planos xy e xz, e uma elipse no plano yz. As “ribas” do hiperboloide se estendem indefinidamente ao longo do eixo x, formando uma estrutura simétrica e contínua.