Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir o gráfico de um hiperboloide de uma folha, dado pela equação . Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos analisar os diferentes traços da superfície, ou seja, as interseções com os planos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um hiperboloide de uma folha. É uma superfície tridimensional que se parece com uma espécie de sela ou uma forma de refrigerante de alumínio aberto nas duas direções. Matematicamente, tem a equação geral . No nosso caso, , e , então , e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os traços da superfície. Traços são as curvas onde a superfície corta os planos coordenados ( , e ).
Traço no plano xy: Para isso, fixamos na equação.
Isso é uma elipse no plano com semi-eixos de comprimento 2 e 3.

Passo 4

Traço no plano xz: Fixamos na equação.
Esta é uma hipérbole no plano , que abre para os lados positivos e negativos de .

Passo 5

Traço no plano yz: Fixamos na equação.
Outra hipérbole, agora no plano , que abre para cima e para baixo em relação ao eixo .

Passo 6

Com esses traços, podemos visualizar o hiperboloide de uma folha. A elipse no plano nos dá a “base” central, e as hipérboles nos planos e mostram como a superfície se abre ao longo dos eixos e , formando a característica forma de sela.

Resposta

O gráfico do hiperboloide de uma folha dado por apresenta uma elipse no plano com semi-eixos 2 e 3, e hipérboles nos planos e , abrindo-se respectivamente ao longo dos eixos e . A união desses traços forma a típica forma tridimensional de um hiperboloide de uma folha.

Exercícios relacionados

Seja , considerando e determine formas simplificadas para
(b) com e
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(j)
Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(d) .
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(a) , com