Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(d) x^2/4 + y^2/9 - z^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir o gráfico de um hiperboloide de uma folha, dado pela equação x^2/4 + y^2/9 - z^2 = 1. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos analisar os diferentes traços da superfície, ou seja, as interseções com os planos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um hiperboloide de uma folha. É uma superfície tridimensional que se parece com uma espécie de sela ou uma forma de refrigerante de alumínio aberto nas duas direções. Matematicamente, tem a equação geral . No nosso caso, , e , então a = 2, b = 3 e c = 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os traços da superfície. Traços são as curvas onde a superfície corta os planos coordenados ( xy, e ).
Traço no plano xy: Para isso, fixamos z = 0 na equação.
Isso é uma elipse no plano xy com semi-eixos de comprimento 2 e 3.

Passo 4

Traço no plano xz: Fixamos y = 0 na equação.
Esta é uma hipérbole no plano , que abre para os lados positivos e negativos de x.

Passo 5

Traço no plano yz: Fixamos x = 0 na equação.
Outra hipérbole, agora no plano , que abre para cima e para baixo em relação ao eixo y.

Passo 6

Com esses traços, podemos visualizar o hiperboloide de uma folha. A elipse no plano xy nos dá a “base” central, e as hipérboles nos planos e mostram como a superfície se abre ao longo dos eixos x e y, formando a característica forma de sela.

Resposta

O gráfico do hiperboloide de uma folha dado por x^2/4 + y^2/9 - z^2 = 1 apresenta uma elipse no plano xy com semi-eixos 2 e 3, e hipérboles nos planos e , abrindo-se respectivamente ao longo dos eixos x e y. A união desses traços forma a típica forma tridimensional de um hiperboloide de uma folha.

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