Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir o gráfico de um hiperboloide de uma folha, dado pela equação
. Estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos analisar os diferentes traços da superfície, ou seja, as interseções com os planos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um hiperboloide de uma folha. É uma superfície tridimensional que se parece com uma espécie de sela ou uma forma de refrigerante de alumínio aberto nas duas direções. Matematicamente, tem a equação geral
. No nosso caso,
,
e
, então
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os traços da superfície. Traços são as curvas onde a superfície corta os planos coordenados (
,
e
).
Traço no plano xy: Para isso, fixamos
na equação.
Isso é uma elipse no plano
com semi-eixos de comprimento 2 e 3.
Passo 4
Traço no plano xz: Fixamos
na equação.
Esta é uma hipérbole no plano
, que abre para os lados positivos e negativos de
.
Passo 5
Traço no plano yz: Fixamos
na equação.
Outra hipérbole, agora no plano
, que abre para cima e para baixo em relação ao eixo
.
Passo 6
Com esses traços, podemos visualizar o hiperboloide de uma folha. A elipse no plano
nos dá a “base” central, e as hipérboles nos planos
e
mostram como a superfície se abre ao longo dos eixos
e
, formando a característica forma de sela.
Resposta
O gráfico do hiperboloide de uma folha dado por
apresenta uma elipse no plano
com semi-eixos 2 e 3, e hipérboles nos planos
e
, abrindo-se respectivamente ao longo dos eixos
e
. A união desses traços forma a típica forma tridimensional de um hiperboloide de uma folha.
Exercícios relacionados
Seja
, considerando
e
determine formas simplificadas para
(b) com
e
(b)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(j)
(j)
Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(d) .
(d)
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(a) , com
(a)