Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! A gente recebeu a equação de um hiperboloide de duas folhas:
O conteúdo aqui é Geometria Analítica, mais especificamente, estudo de superfícies quadricas. A gente vai precisar entender como identificar e desenhar os traços dessa superfície, ou seja, como ela se comporta quando a gente corta ela pelos planos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a visualização. Vamos reescrever os denominadores:
Aqui, percebemos que os termos de e estão com sinais negativos, enquanto o de está positivo. Isso já nos dá uma pista de que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas, que tem uma forma parecida com duas colheres viradas para cima e para baixo.

Passo 3

Agora, vamos identificar os parâmetros da equação padrão do hiperboloide de duas folhas, que é:
Comparando com a nossa equação , temos:
Esses valores vão nos ajudar a determinar os traços e a forma geral da superfície.

Passo 4

Vamos agora encontrar os traços da superfície nos planos , e .
Traço no plano (quando ):
Substituindo na equação:
Isso não tem solução real, porque a soma de termos negativos nunca dá 1. Então, não há traços no plano .
Traço no plano (quando ):
Substituindo :
Podemos reescrever como:
Isso representa duas parábolas abertas ao longo do eixo .
Traço no plano (quando ):
Substituindo :
Reescrevendo:
Novamente, temos duas parábolas abertas ao longo do eixo .

Passo 5

Vamos resumir os traços encontrados:
  • No plano : Não há interseção, já que a equação não tem solução real aqui.
  • No plano : Duas parábolas abertas ao longo do eixo .
  • No plano : Duas parábolas abertas ao longo do eixo .
Isso confirma que temos um hiperboloide de duas folhas, que consiste em duas superfícies curvas que se estendem infinitamente para cima e para baixo ao longo do eixo , sem tocar o plano .

Resposta

O gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação apresenta duas superfícies curvas simétricas em relação ao plano , abertas ao longo do eixo . Os traços nos planos e são parábolas que confirmam essa forma, enquanto não há traço no plano . Assim, a superfície consiste em duas “folhas” que se afastam verticalmente sem interceptar o plano horizontal.

Exercícios relacionados

Sem utilizar a regra de Li-
Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Existe tal que .
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(a)