Construa o gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui! A gente recebeu a equação de um hiperboloide de duas folhas:
O conteúdo aqui é Geometria Analítica, mais especificamente, estudo de superfícies quadricas. A gente vai precisar entender como identificar e desenhar os traços dessa superfície, ou seja, como ela se comporta quando a gente corta ela pelos planos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a visualização. Vamos reescrever os denominadores:
Aqui, percebemos que os termos de
e
estão com sinais negativos, enquanto o de
está positivo. Isso já nos dá uma pista de que estamos lidando com um hiperboloide de duas folhas, que tem uma forma parecida com duas colheres viradas para cima e para baixo.
Passo 3
Agora, vamos identificar os parâmetros da equação padrão do hiperboloide de duas folhas, que é:
Comparando com a nossa equação
, temos:
Esses valores vão nos ajudar a determinar os traços e a forma geral da superfície.
Passo 4
Vamos agora encontrar os traços da superfície nos planos
,
e
.
Traço no plano
(quando
):
Substituindo
na equação:
Isso não tem solução real, porque a soma de termos negativos nunca dá 1. Então, não há traços no plano
.
Traço no plano
(quando
):
Substituindo
:
Podemos reescrever como:
Isso representa duas parábolas abertas ao longo do eixo
.
Traço no plano
(quando
):
Substituindo
:
Reescrevendo:
Novamente, temos duas parábolas abertas ao longo do eixo
.
Passo 5
Vamos resumir os traços encontrados:
- No plano
: Não há interseção, já que a equação não tem solução real aqui. - No plano
: Duas parábolas abertas ao longo do eixo . - No plano
: Duas parábolas abertas ao longo do eixo .
Isso confirma que temos um hiperboloide de duas folhas, que consiste em duas superfícies curvas que se estendem infinitamente para cima e para baixo ao longo do eixo
, sem tocar o plano
.
Resposta
O gráfico do hiperboloide de duas folhas dado pela equação
apresenta duas superfícies curvas simétricas em relação ao plano
, abertas ao longo do eixo
. Os traços nos planos
e
são parábolas que confirmam essa forma, enquanto não há traço no plano
. Assim, a superfície consiste em duas “folhas” que se afastam verticalmente sem interceptar o plano horizontal.
Exercícios relacionados
Sem utilizar a regra de Li-
Determine se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa.
Existe tal que
.
Existe
Use a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar as integrais abaixo quanto a convergência
(a)
(a)