Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(d)
, com
(d)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma equação polinomial do terceiro grau,
, e já sabemos que o termo constante
é igual a zero. Nosso objetivo é encontrar as soluções dessa equação e descobrir em quais condições essas soluções são números reais ou complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações polinomiais de terceiro grau e também como determinar se as raízes são reais ou complexas usando o discriminante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação geral do terceiro grau com
:
Podemos fatorar um
da equação:
Isso nos mostra que uma das soluções é
.
Passo 3
Agora, ficamos com a equação quadrática dentro dos parênteses:
Para encontrar as outras soluções, precisamos resolver essa equação quadrática. A fórmula de Bhaskara nos ajuda a encontrar as raízes de uma equação quadrática
:
Aqui,
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular o discriminante da equação quadrática, que é a parte dentro da raiz:
O discriminante nos diz se as raízes são reais ou complexas:
- Se
, temos duas raízes reais e distintas. - Se
, temos duas raízes reais e iguais. - Se
, as raízes são complexas.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Bhaskara, as outras duas soluções da equação original são:
Então, já temos todas as soluções da equação
.
Passo 6
Resumindo:
- Sempre teremos a solução
. - As outras duas soluções dependem do valor do discriminante
: - Se
, as soluções são reais. - Se
, as soluções são complexas.
- Se
Resposta
As soluções da equação
com
são
e
As soluções são reais quando
e complexas quando
.
Exercícios relacionados
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(b)
(b)
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b) .
(b)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
©
©
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(f)
(f)