Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(d) , com

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma equação polinomial do terceiro grau, , e já sabemos que o termo constante é igual a zero. Nosso objetivo é encontrar as soluções dessa equação e descobrir em quais condições essas soluções são números reais ou complexos. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações polinomiais de terceiro grau e também como determinar se as raízes são reais ou complexas usando o discriminante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação geral do terceiro grau com :
Podemos fatorar um da equação:
Isso nos mostra que uma das soluções é .

Passo 3

Agora, ficamos com a equação quadrática dentro dos parênteses:
Para encontrar as outras soluções, precisamos resolver essa equação quadrática. A fórmula de Bhaskara nos ajuda a encontrar as raízes de uma equação quadrática :
Aqui, , e .

Passo 4

Vamos calcular o discriminante da equação quadrática, que é a parte dentro da raiz:
O discriminante nos diz se as raízes são reais ou complexas:
  • Se , temos duas raízes reais e distintas.
  • Se , temos duas raízes reais e iguais.
  • Se , as raízes são complexas.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara, as outras duas soluções da equação original são:
Então, já temos todas as soluções da equação .

Passo 6

Resumindo:
  • Sempre teremos a solução .
  • As outras duas soluções dependem do valor do discriminante :
    • Se , as soluções são reais.
    • Se , as soluções são complexas.

Resposta

As soluções da equação com são e
As soluções são reais quando e complexas quando .

Exercícios relacionados

Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(b)
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b) .
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
©
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(f)