Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a equação
e descobrir quando as soluções são números reais ou complexos. Aqui,
provavelmente representa uma equação do segundo grau, ou seja, uma equação quadrática. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de Bhaskara e entender o discriminante para determinar a natureza das raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma equação quadrática geral:
Onde:
-
, e são coeficientes reais -
(senão não seria uma equação de segundo grau)
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos a fórmula de Bhaskara, que nos dá as soluções para
:
Aqui, o termo dentro da raiz quadrada,
, é chamado de discriminante.
Passo 4
O discriminante (
) nos ajuda a determinar a natureza das raízes da equação:
- Se
: A equação tem duas raízes reais e distintas. - Se
: A equação tem duas raízes reais e iguais (ou uma raiz dupla). - Se
: A equação tem duas raízes complexas (não reais).
Passo 5
Então, para encontrar as soluções e determinar se são reais ou complexas, seguimos os passos:
- Calcular o discriminante:
. - Verificar o sinal de
: - Se
, usar a fórmula de Bhaskara para encontrar duas soluções reais distintas. - Se
, usar a fórmula de Bhaskara para encontrar uma solução real dupla. - Se
, as soluções serão complexas e podem ser expressas na forma , onde é a unidade imaginária.
- Se
Resposta
Portanto, as soluções da equação
são:
- Reais e distintas quando
. - Reais e iguais quando
. - Complexas quando
.
Exercícios relacionados
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b) .
(b)
Para as expressões do tipo
abaixo, determine a expressão
:
(e)
(e)
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(d) , com
(d)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
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