Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a equação e descobrir quando as soluções são números reais ou complexos. Aqui, provavelmente representa uma equação do segundo grau, ou seja, uma equação quadrática. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de Bhaskara e entender o discriminante para determinar a natureza das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma equação quadrática geral:
Onde:
  • , e são coeficientes reais
  • (senão não seria uma equação de segundo grau)

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos a fórmula de Bhaskara, que nos dá as soluções para :
Aqui, o termo dentro da raiz quadrada, , é chamado de discriminante.

Passo 4

O discriminante ( ) nos ajuda a determinar a natureza das raízes da equação:
  • Se : A equação tem duas raízes reais e distintas.
  • Se : A equação tem duas raízes reais e iguais (ou uma raiz dupla).
  • Se : A equação tem duas raízes complexas (não reais).

Passo 5

Então, para encontrar as soluções e determinar se são reais ou complexas, seguimos os passos:
  1. Calcular o discriminante: .
  2. Verificar o sinal de :
    • Se , usar a fórmula de Bhaskara para encontrar duas soluções reais distintas.
    • Se , usar a fórmula de Bhaskara para encontrar uma solução real dupla.
    • Se , as soluções serão complexas e podem ser expressas na forma , onde é a unidade imaginária.

Resposta

Portanto, as soluções da equação são:
  • Reais e distintas quando .
  • Reais e iguais quando .
  • Complexas quando .

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Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(b) .
Para as expressões do tipo abaixo, determine a expressão :
(e)
Para as equações abaixo, encontre as soluções e determine em que condições elas são reais e em que condições são complexas:
(d) , com
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
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