Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos , onde são suas raízes:
(j)

Passo 1

Então, a gente tem um polinômio de quarto grau: . A tarefa é escrever esse polinômio como um produto de termos da forma , onde são as raízes do polinômio no conjunto dos números complexos . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental da Álgebra e métodos de fatoração de polinômios, como o uso de raízes racionais e divisão polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar possíveis raízes racionais do polinômio usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que qualquer raiz racional, na forma , onde é um divisor do termo independente e é um divisor do coeficiente líder.
Aqui, o termo independente é 6 e o coeficiente líder é 1. Então, os possíveis valores de são e é . Portanto, as possíveis raízes racionais são .

Passo 3

Vamos testar essas possíveis raízes substituindo no polinômio para ver se o resultado é zero.
Vamos começar com :
Como o resultado é zero, é uma raiz do polinômio. Isso significa que é um fator do polinômio.

Passo 4

Agora, vamos dividir o polinômio original por para encontrar o polinômio reduzido. Podemos usar a divisão polinomial ou o Método de Ruffini para facilitar.
Dividindo por , vamos obter:

Passo 5

Agora, vamos trabalhar com o polinômio cúbico resultante: . Novamente, vamos procurar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis valores são .
Vamos testar :
Então, é uma raiz, e é um fator.

Passo 6

Vamos dividir por :

Passo 7

Agora, temos o polinômio quadrático . Vamos fatorar esse polinômio encontrando dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1.
Esses números são -3 e 2. Então,

Passo 8

Agora, juntando todos os fatores que encontramos, o polinômio original pode ser escrito como:

Resposta

O polinômio pode ser expresso como:

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