Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(j)
(j)
Passo 1
Então, a gente tem um polinômio de quarto grau:
. A tarefa é escrever esse polinômio como um produto de termos da forma
, onde
são as raízes do polinômio no conjunto dos números complexos
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental da Álgebra e métodos de fatoração de polinômios, como o uso de raízes racionais e divisão polinomial.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar possíveis raízes racionais do polinômio usando o Teorema das Raízes Racionais. Esse teorema nos diz que qualquer raiz racional, na forma
, onde
é um divisor do termo independente e
é um divisor do coeficiente líder.
Aqui, o termo independente é 6 e o coeficiente líder é 1. Então, os possíveis valores de
são
e
é
. Portanto, as possíveis raízes racionais são
.
Passo 3
Vamos testar essas possíveis raízes substituindo no polinômio para ver se o resultado é zero.
Vamos começar com
:
Como o resultado é zero,
é uma raiz do polinômio. Isso significa que
é um fator do polinômio.
Passo 4
Agora, vamos dividir o polinômio original por
para encontrar o polinômio reduzido. Podemos usar a divisão polinomial ou o Método de Ruffini para facilitar.
Dividindo
por
, vamos obter:
Passo 5
Agora, vamos trabalhar com o polinômio cúbico resultante:
. Novamente, vamos procurar possíveis raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis valores são
.
Vamos testar
:
Então,
é uma raiz, e
é um fator.
Passo 6
Vamos dividir
por
:
Passo 7
Agora, temos o polinômio quadrático
. Vamos fatorar esse polinômio encontrando dois números que multiplicados dão -6 e somados dão -1.
Esses números são -3 e 2. Então,
Passo 8
Agora, juntando todos os fatores que encontramos, o polinômio original pode ser escrito como:
Resposta
O polinômio pode ser expresso como:
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Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
(f)
(f)
Expresse os polinômios abaixo como produtos de termos
, onde
são suas raízes:
©
©
Seja
, considerando
e
determine formas simplificadas para
(b) com
e
(b)
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(d) .
(d)