Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa construir o gráfico de um hiperboloide de uma folha que é dado pela equação . Isso faz parte da matéria de Superfícies Quadricas na Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar os traços dessa superfície nos planos coordenados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um hiperboloide de uma folha. É uma superfície tridimensional que se parece com uma espécie de “sela” ou um “cilindro” que se estende infinitamente. A equação geral de um hiperboloide de uma folha tem sinais mistos, com dois termos positivos e um negativo ou vice-versa.

Passo 3

Agora, para estudar os traços, vamos cortar o hiperboloide com os planos coordenados , e , ou seja, , e respectivamente. Cada corte vai nos dar uma curva que ajuda a entender melhor a forma da superfície.

Passo 4

Vamos começar com o plano . Substituindo na equação, temos:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano , com abertura ao longo do eixo .

Passo 5

Agora, vamos ao plano . Substituindo na equação, temos:
Essa é a equação de uma elipse no plano . Isso indica que, em cada corte paralelo ao plano , a seção é uma elipse.

Passo 6

Por fim, vamos ao plano . Substituindo na equação, temos:
Podemos reescrever isso como:
Essa também é a equação de uma hipérbole, agora no plano , com abertura ao longo do eixo .

Passo 7

Com esses traços, podemos esboçar o gráfico. No plano , teremos uma hipérbole aberta no eixo . No plano , uma elipse, e no plano , outra hipérbole aberta no eixo . Juntando essas informações, percebemos que o hiperboloide de uma folha tem simetria em relação aos três eixos e lembra uma espécie de “prato raso” que se estende para fora em todas as direções.

Resposta

O gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação apresenta traços hiperbólicos nos planos e , e um traço elíptico no plano , formando uma superfície simétrica que se estende infinitamente nos três eixos.

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Sejam os conjuntos e , determine:
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Sejam os conjuntos e , determine:
(e)
Considerando , encontre as soluções das seguintes inequações:
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Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(f) .