Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa construir o gráfico de um hiperboloide de uma folha que é dado pela equação
. Isso faz parte da matéria de Superfícies Quadricas na Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar entender como identificar e desenhar os traços dessa superfície nos planos coordenados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um hiperboloide de uma folha. É uma superfície tridimensional que se parece com uma espécie de “sela” ou um “cilindro” que se estende infinitamente. A equação geral de um hiperboloide de uma folha tem sinais mistos, com dois termos positivos e um negativo ou vice-versa.
Passo 3
Agora, para estudar os traços, vamos cortar o hiperboloide com os planos coordenados
,
e
, ou seja,
,
e
respectivamente. Cada corte vai nos dar uma curva que ajuda a entender melhor a forma da superfície.
Passo 4
Vamos começar com o plano
. Substituindo
na equação, temos:
Essa é a equação de uma hipérbole no plano
, com abertura ao longo do eixo
.
Passo 5
Agora, vamos ao plano
. Substituindo
na equação, temos:
Essa é a equação de uma elipse no plano
. Isso indica que, em cada corte paralelo ao plano
, a seção é uma elipse.
Passo 6
Por fim, vamos ao plano
. Substituindo
na equação, temos:
Podemos reescrever isso como:
Essa também é a equação de uma hipérbole, agora no plano
, com abertura ao longo do eixo
.
Passo 7
Com esses traços, podemos esboçar o gráfico. No plano
, teremos uma hipérbole aberta no eixo
. No plano
, uma elipse, e no plano
, outra hipérbole aberta no eixo
. Juntando essas informações, percebemos que o hiperboloide de uma folha tem simetria em relação aos três eixos e lembra uma espécie de “prato raso” que se estende para fora em todas as direções.
Resposta
O gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação
apresenta traços hiperbólicos nos planos
e
, e um traço elíptico no plano
, formando uma superfície simétrica que se estende infinitamente nos três eixos.
Exercícios relacionados
Sejam os conjuntos
e
, determine:
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Sejam os conjuntos
e
, determine:
(e)
(e)
Considerando
, encontre as soluções das seguintes inequações:
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Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(f) .
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