Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(f)
.
(f)
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente precisa construir o gráfico do hiperboloide de uma folha cuja equação é
. Isso faz parte da matéria de geometria analítica, mais especificamente no estudo das superfícies quadricas. Para resolver isso, vamos precisar entender as características básicas das hiperbolóides e como traçar seus traços principais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando. A equação
representa um hiperboloide de uma folha. Isso significa que a superfície tem uma forma semelhante a uma sela, se esticada ou comprimida ao longo de um dos eixos.
Passo 3
Vamos encontrar os traços da superfície nos planos coordenados. Os traços são as interseções da superfície com os planos
,
e
. Esses traços nos ajudam a entender melhor a forma da superfície.
Passo 4
Primeiro, o traço no plano
ocorre quando
. Substituindo
na equação, temos:
Isso é um círculo com raio 1 no plano
.
Passo 5
Agora, vamos para o plano
. Aqui,
. Substituindo
, temos:
Essa é uma hipérbole que abre ao longo do eixo
.
Passo 6
De maneira semelhante, para o plano
, onde
, substituímos na equação original:
Essa também é uma hipérbole que abre ao longo do eixo
.
Passo 7
Com esses traços, podemos começar a desenhar o hiperboloide. No centro, temos o círculo no plano
. As hipérboles nos planos
e
mostram como a superfície se estende ao longo dos eixos
e
, formando a característica “folha” do hiperboloide.
Passo 8
Para visualizar melhor, imagine que o círculo no plano
é a “base” e as hipérboles nos planos
e
se abrem para cima e para baixo, criando uma superfície contínua que se expande infinitamente.
Resposta
O gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação
possui um círculo no plano
com raio 1 e hipérboles nos planos
e
que abrem ao longo dos eixos
e
, formando uma superfície contínua semelhante a uma sela que se expande infinitamente.
Exercícios relacionados
Considerando
, encontre as soluções das seguintes inequações:
©
©
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
© .
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Considerando
, encontre as soluções das seguintes inequações:
(f)
(f)
Sejam os conjuntos
e
determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de
e
em relação a:
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