Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
(f) .

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente precisa construir o gráfico do hiperboloide de uma folha cuja equação é . Isso faz parte da matéria de geometria analítica, mais especificamente no estudo das superfícies quadricas. Para resolver isso, vamos precisar entender as características básicas das hiperbolóides e como traçar seus traços principais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de superfície estamos lidando. A equação representa um hiperboloide de uma folha. Isso significa que a superfície tem uma forma semelhante a uma sela, se esticada ou comprimida ao longo de um dos eixos.

Passo 3

Vamos encontrar os traços da superfície nos planos coordenados. Os traços são as interseções da superfície com os planos , e . Esses traços nos ajudam a entender melhor a forma da superfície.

Passo 4

Primeiro, o traço no plano ocorre quando . Substituindo na equação, temos:
Isso é um círculo com raio 1 no plano .

Passo 5

Agora, vamos para o plano . Aqui, . Substituindo , temos:
Essa é uma hipérbole que abre ao longo do eixo .

Passo 6

De maneira semelhante, para o plano , onde , substituímos na equação original:
Essa também é uma hipérbole que abre ao longo do eixo .

Passo 7

Com esses traços, podemos começar a desenhar o hiperboloide. No centro, temos o círculo no plano . As hipérboles nos planos e mostram como a superfície se estende ao longo dos eixos e , formando a característica “folha” do hiperboloide.

Passo 8

Para visualizar melhor, imagine que o círculo no plano é a “base” e as hipérboles nos planos e se abrem para cima e para baixo, criando uma superfície contínua que se expande infinitamente.

Resposta

O gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação possui um círculo no plano com raio 1 e hipérboles nos planos e que abrem ao longo dos eixos e , formando uma superfície contínua semelhante a uma sela que se expande infinitamente.

Exercícios relacionados

Considerando , encontre as soluções das seguintes inequações:
©
Construa o gráfico do hiperboloide de uma folha dado pela equação, apresentando um estudo de seus traços.
© .
Considerando , encontre as soluções das seguintes inequações:
(f)
Sejam os conjuntos e determine, caso possível (caso não seja possível justifique) os conjuntos complementares de e em relação a:
©