Construa o gráfico, dê o período e a imagem das seguintes funções:

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para a gente construir o gráfico da função , além de determinar o período e a imagem dessa função. Isso envolve trabalhar com funções trigonométricas, especificamente a função cosseno. Para resolver isso, vamos precisar entender como o gráfico do cosseno muda quando fazemos algumas alterações na função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da função cosseno básica: . O gráfico dessa função é uma curva que oscila entre 1 e -1, com um ciclo completo que se repete a cada unidades. Esse intervalo onde a função oscila é chamado de imagem da função, e o comprimento do ciclo é o período da função.

Passo 3

Agora, na nossa função , estamos adicionando 3 ao cosseno. Isso faz com que todo o gráfico do cosseno seja deslocado para cima em 3 unidades. Ou seja, ao invés de oscilar entre -1 e 1, a função agora oscila entre e .

Passo 4

Vamos falar sobre o período. O período da função cosseno básica é , e isso não muda quando adicionamos ou subtraímos números à função. Então, o período da nossa função continua sendo .

Passo 5

Agora, sobre a imagem da função. Como dissemos antes, a função cosseno básica tem imagem entre -1 e 1. Adicionando 3, esses valores vão para 2 e 4. Portanto, a imagem da função é o intervalo .

Passo 6

Por fim, para construir o gráfico, imagine o gráfico do cosseno padrão. Agora, suba todo esse gráfico 3 unidades para cima. Isso significa que o ponto mais baixo será 2 e o ponto mais alto será 4. O gráfico continuará repetindo seu ciclo a cada unidades no eixo x.

Resposta

  • Período:
  • Imagem:
  • Gráfico: O gráfico é uma curva em forma de cosseno deslocada 3 unidades para cima, oscilando entre 2 e 4, com ciclo completo repetindo a cada unidades.

Exercícios relacionados

Dada a função , determine .
Determine o comprimento de arco das seguintes curvas: c) .
Determine o seno e o cosseno de:
Calcule o valor das expressões: