Dada a função , determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função vetorial . Isso faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, onde a gente trabalha com funções que dependem de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma variável, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função tem três componentes:
Vamos calcular as derivadas parciais para cada componente separadamente.

Passo 3

Calculando

Vamos começar com a segunda derivada parcial em relação a .
Primeira derivada de cada componente em relação a :
  • (já que não depende de )
Segunda derivada em relação a :
  • (já que não depende de )
Portanto,

Passo 4

Calculando

Agora, vamos calcular a derivada parcial mista, primeiro em relação a e depois a .
Primeira derivada em relação a :
  • (já que não depende de )
Segunda derivada, primeiro em relação a :
  • (já que não depende de )
Portanto,

Passo 5

Calculando

Vamos agora calcular a terceira derivada parcial, derivando em relação a novamente.
Derivando cada componente em relação a :
  • (já que não depende de )
Portanto,

Passo 6

Calculando

Por fim, vamos calcular a terceira derivada parcial em relação a .
Primeira derivada de cada componente em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Terceira derivada em relação a :
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:

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