Dada a função r(x, y, z)=(1x, 1y^2, x y z), determine partial^2 rpartial x^2, partial^2 rpartial x partial y, partial^3 rpartial x^2 partial y e partial^3 rpartial z^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função vetorial . Isso faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, onde a gente trabalha com funções que dependem de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma variável, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a função tem três componentes:
Vamos calcular as derivadas parciais para cada componente separadamente.

Passo 3

Calculando partial^2 rpartial x^2 = ( 2x^3, , 0, , 0 )

Vamos começar com a segunda derivada parcial em relação a .
Primeira derivada de cada componente em relação a :
  • (já que não depende de )
Segunda derivada em relação a :
  • (já que não depende de )
Portanto,

Passo 4

Calculando partial^2 rpartial x partial y = ( 0, , 0, , z )

Agora, vamos calcular a derivada parcial mista, primeiro em relação a e depois a .
Primeira derivada em relação a :
  • (já que não depende de )
Segunda derivada, primeiro em relação a :
  • (já que não depende de )
Portanto,

Passo 5

Calculando partial^3 rpartial x^2 partial y = ( 0, , 0, , 0 )

Vamos agora calcular a terceira derivada parcial, derivando em relação a novamente.
Derivando cada componente em relação a :
  • (já que não depende de )
Portanto,

Passo 6

Calculando partial^3 rpartial z^3 = ( 0, , 0, , 0 )

Por fim, vamos calcular a terceira derivada parcial em relação a .
Primeira derivada de cada componente em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Terceira derivada em relação a :
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais solicitadas são:
partial^2 rpartial x^2 = ( 2x^3, , 0, , 0 )
partial^2 rpartial x partial y = ( 0, , 0, , z )
partial^3 rpartial x^2 partial y = ( 0, , 0, , 0 )
partial^3 rpartial z^3 = ( 0, , 0, , 0 )

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