Dada a função
, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar derivadas parciais de segunda e terceira ordem da função vetorial
. Isso faz parte do estudo de Cálculo Multivariável, onde a gente trabalha com funções que dependem de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar derivadas parciais, que são as derivadas de uma função em relação a uma variável, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a função
tem três componentes:
Vamos calcular as derivadas parciais para cada componente separadamente.
Passo 3
Calculando
Vamos começar com a segunda derivada parcial em relação a
.
Primeira derivada de cada componente em relação a
:
-
-
(já que não depende de ) -
Segunda derivada em relação a
:
-
-
-
(já que não depende de )
Portanto,
Passo 4
Calculando
Agora, vamos calcular a derivada parcial mista, primeiro em relação a
e depois a
.
Primeira derivada em relação a
:
-
(já que não depende de ) -
-
Segunda derivada, primeiro em relação a
:
-
-
(já que não depende de ) -
Portanto,
Passo 5
Calculando
Vamos agora calcular a terceira derivada parcial, derivando
em relação a
novamente.
Derivando cada componente em relação a
:
-
-
-
(já que não depende de )
Portanto,
Passo 6
Calculando
Por fim, vamos calcular a terceira derivada parcial em relação a
.
Primeira derivada de cada componente em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Terceira derivada em relação a
:
Portanto,
Resposta
As derivadas parciais solicitadas são:
Exercícios relacionados
Determine o comprimento de arco das seguintes curvas: c)
.
Sendo
, calcule sen
.
Construa o gráfico, dê o período e a imagem das seguintes funções:
Determine o seno e o cosseno de: