Determine o comprimento de arco das seguintes curvas: c) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento de arco da curva definida por para . Isso faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente de Geometria Analítica e Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o comprimento de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por no intervalo :
Onde é a derivada de em relação a , e é a norma (ou módulo) desse vetor derivada.
Passo 3
Vamos agora calcular a derivada de . Dada a função:
A derivada é:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a norma desse vetor derivada:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Isso é simplesmente a integral de 1 no intervalo de a , o que significa que: