Determine o comprimento de arco das seguintes curvas: c) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento de arco da curva definida por para . Isso faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente de Geometria Analítica e Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o comprimento de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por no intervalo :
Onde é a derivada de em relação a , e é a norma (ou módulo) desse vetor derivada.

Passo 3

Vamos agora calcular a derivada de . Dada a função:
A derivada é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a norma desse vetor derivada:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos substituir na fórmula do comprimento de arco:
Isso é simplesmente a integral de 1 no intervalo de a , o que significa que:

Resposta

O comprimento de arco da curva é unidades.

Exercícios relacionados

Sendo , calcule sen .
Calcule o valor das expressões:
Dada a função , determine .
Construa o gráfico, dê o período e a imagem das seguintes funções: