Construa o gráfico das seguintes funções, dê seu período e imagem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir o gráfico da função , além de encontrar o período e a imagem dessa função. Estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente a função cosseno. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno básica é transformada quando alteramos o argumento dela, como no caso de .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função cosseno básica: . O gráfico dessa função é uma onda que oscila entre 1 e -1, com um período de . O período é o intervalo de que a função leva para completar uma oscilação completa.
Passo 3
Agora, na nossa função , temos um fator de escala horizontal dentro do cosseno, que é . Quando temos , o período da função é dado por . No nosso caso, .
Passo 4
Vamos calcular o período:
Então, o período da função é .
Passo 5
A imagem da função é o conjunto de valores que pode assumir. Como a função cosseno sempre oscila entre 1 e -1, a imagem é:
Passo 6
Para construir o gráfico, sabemos que a função começa em 1 quando . Como o período é , o próximo ponto onde a função atinge 1 será em . No meio desse período, em , a função atinge -1. Podemos marcar pontos chave como:
,
,
,
,
,
Esses pontos ajudam a esboçar a onda completa da função.
Resposta
A função tem período igual a e a sua imagem é o intervalo .