Construa o gráfico das seguintes funções, dê seu período e imagem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir o gráfico da função , além de encontrar o período e a imagem dessa função. Estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente a função cosseno. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno básica é transformada quando alteramos o argumento dela, como no caso de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função cosseno básica: . O gráfico dessa função é uma onda que oscila entre 1 e -1, com um período de . O período é o intervalo de que a função leva para completar uma oscilação completa.

Passo 3

Agora, na nossa função , temos um fator de escala horizontal dentro do cosseno, que é . Quando temos , o período da função é dado por . No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular o período:
í
Então, o período da função é .

Passo 5

A imagem da função é o conjunto de valores que pode assumir. Como a função cosseno sempre oscila entre 1 e -1, a imagem é:

Passo 6

Para construir o gráfico, sabemos que a função começa em 1 quando . Como o período é , o próximo ponto onde a função atinge 1 será em . No meio desse período, em , a função atinge -1. Podemos marcar pontos chave como:
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
  • ,
Esses pontos ajudam a esboçar a onda completa da função.

Resposta

A função tem período igual a e a sua imagem é o intervalo .

Exercícios relacionados

Construa os gráficos e dê o período e a imagem das seguintes funções:
Sendo , calcule .
Use derivadas de transformadas, ou seja, , nos problemas indicados:
4.6.
Resolva as equações: