Construa os gráficos das funções definidas em
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que construir o gráfico da função definida em todos os números reais (ℝ):
. Isso está relacionado ao estudo de funções quadráticas na matéria de Álgebra. Para resolver, vamos precisar entender como são os gráficos das funções quadráticas e como algumas alterações na fórmula afetam o gráfico.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a função básica quadrática é
. O gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima, com o vértice no ponto (0,0).
Passo 3
Agora, observamos que temos um sinal de menos na frente do
, ou seja, a função é
. Esse sinal negativo faz com que a parábola abra para baixo, invertendo o gráfico básico.
Passo 4
Vamos identificar os principais elementos do gráfico:
- Vértice: É o ponto mais alto da parábola quando ela abre para baixo. No nosso caso, como não há termos que deslocem o gráfico para cima, para baixo, para os lados, o vértice continua em (0,0).
- Eixo de simetria: É a linha vertical que passa pelo vértice, que no caso é o eixo y, ou
. - Direção de abertura: Como mencionamos, a parábola abre para baixo devido ao sinal negativo.
Passo 5
Vamos plotar alguns pontos para ter certeza de como o gráfico ficará:
- Quando
, . - Quando
, . - Quando
, . - Quando
, . - Quando
, .
Passo 6
Com esses pontos, podemos desenhar a parábola que abre para baixo, com o vértice em (0,0) e passando pelos pontos (-2,-4), (-1,-1), (0,0), (1,-1) e (2,-4).
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto (0,0) e simetria em relação ao eixo y. Os pontos principais são (0,0), (1,-1), (-1,-1), (2,-4) e (-2,-4). A parábola se estende indefinidamente para baixo conforme
aumenta ou diminui.
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em
:
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Sabendo que
e
, determine
.