Construa os gráficos das funções definidas em :

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que construir o gráfico da função definida em todos os números reais (ℝ): . Isso está relacionado ao estudo de funções quadráticas na matéria de Álgebra. Para resolver, vamos precisar entender como são os gráficos das funções quadráticas e como algumas alterações na fórmula afetam o gráfico.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a função básica quadrática é . O gráfico dessa função é uma parábola que abre para cima, com o vértice no ponto (0,0).

Passo 3

Agora, observamos que temos um sinal de menos na frente do , ou seja, a função é . Esse sinal negativo faz com que a parábola abra para baixo, invertendo o gráfico básico.

Passo 4

Vamos identificar os principais elementos do gráfico:
  • Vértice: É o ponto mais alto da parábola quando ela abre para baixo. No nosso caso, como não há termos que deslocem o gráfico para cima, para baixo, para os lados, o vértice continua em (0,0).
  • Eixo de simetria: É a linha vertical que passa pelo vértice, que no caso é o eixo y, ou .
  • Direção de abertura: Como mencionamos, a parábola abre para baixo devido ao sinal negativo.

Passo 5

Vamos plotar alguns pontos para ter certeza de como o gráfico ficará:
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 6

Com esses pontos, podemos desenhar a parábola que abre para baixo, com o vértice em (0,0) e passando pelos pontos (-2,-4), (-1,-1), (0,0), (1,-1) e (2,-4).

Resposta

O gráfico da função é uma parábola que abre para baixo, com vértice no ponto (0,0) e simetria em relação ao eixo y. Os pontos principais são (0,0), (1,-1), (-1,-1), (2,-4) e (-2,-4). A parábola se estende indefinidamente para baixo conforme aumenta ou diminui.

Exercícios relacionados

Determine os zeros reais das funções:
Construa o gráfico cartesiano das funcões de em :
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da seguinte função:
Sabendo que e , determine .