Determine as derivadas parciais de segunda ordem da seguinte função:
z = y * e^(-x) + 2 * x * e^(2 * y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem a função e precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem dela. Isso significa que vamos calcular como essa função muda quando mudamos uma ou duas variáveis (x e y) de forma independente. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação parcial e como aplicar a regra do produto e da cadeia quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de em relação a , que a gente escreve como . Isso significa que vamos derivar em relação a , tratando como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
  • Para , a derivada em relação a é .
  • Para , a derivada em relação a é , já que é constante em relação a .
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa derivar em relação a novamente.
Temos:
Derivando termo a termo:
  • Para , a derivada em relação a é .
  • Para , a derivada em relação a é 0, pois não há nessa expressão.
Então:

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial mista . Primeiro, vamos derivar em relação a , e depois derivar o resultado em relação a .
Primeiro, derivando em relação a :
Derivando termo a termo:
  • Para , a derivada em relação a é .
  • Para , a derivada em relação a é .
Então:
Agora, derivamos em relação a :
Derivando termo a termo:
  • Para , a derivada em relação a é .
  • Para , a derivada em relação a é .
Então:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa derivar em relação a .
Já temos:
Derivando termo a termo:
  • Para , a derivada em relação a é 0, já que não há nessa parte.
  • Para , a derivada em relação a é .
Então:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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