Determine as derivadas parciais de segunda ordem da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente tem a função
e precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem dela. Isso significa que vamos calcular como essa função muda quando mudamos uma ou duas variáveis (x e y) de forma independente. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação parcial e como aplicar a regra do produto e da cadeia quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente escreve como
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
, tratando
como uma constante.
A função é:
Derivando termo a termo:
- Para
, a derivada em relação a é . - Para
, a derivada em relação a é , já que é constante em relação a .
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
novamente.
Temos:
Derivando termo a termo:
- Para
, a derivada em relação a é . - Para
, a derivada em relação a é 0, pois não há nessa expressão.
Então:
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada parcial mista
. Primeiro, vamos derivar
em relação a
, e depois derivar o resultado em relação a
.
Primeiro, derivando
em relação a
:
Derivando termo a termo:
- Para
, a derivada em relação a é . - Para
, a derivada em relação a é .
Então:
Agora, derivamos
em relação a
:
Derivando termo a termo:
- Para
, a derivada em relação a é . - Para
, a derivada em relação a é .
Então:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
em relação a
.
Já temos:
Derivando termo a termo:
- Para
, a derivada em relação a é 0, já que não há nessa parte. - Para
, a derivada em relação a é .
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são:
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:
Determine os zeros reais das funções:
Sabendo que
e
, determine
.
Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas: