Construa os gráficos das seguintes funções, dê o seu período e a imagem.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para construir o gráfico da função
, além de determinar o período e a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente da função seno, e entender como algumas mudanças na equação afetam o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função seno. A função
é uma função trigonométrica que oscila entre -1 e 1, formando uma curva conhecida como senoide. O gráfico dela é uma onda que se repete a cada
unidades, que é o seu período padrão.
Passo 3
Agora, na nossa função
, temos dois elementos que modificam o gráfico padrão do seno:
-
Amplitude: O número que está multiplicando o seno, que no caso é 2. A amplitude determina o quanto a onda sobe e desce a partir do eixo central. Como a amplitude aqui é 2, a função
vai oscilar entre -2 e 2. -
Translação Vertical: O número que está sendo somado, que aqui é 1. Isso significa que todo o gráfico da função vai subir 1 unidade no eixo Y. Assim, a onda que antes variava entre -2 e 2 agora vai variar entre -1 e 3.
Passo 4
Vamos determinar o período da função. O período é o intervalo em que a função completa uma oscilação completa. Para
, o período é
. Se tivéssemos uma função como
, o período seria
. No nosso caso, não há nenhum coeficiente dentro do seno além de 1, então o período continua sendo
.
Passo 5
Agora, a imagem da função é o conjunto de todos os valores possíveis que a função pode assumir. Como vimos,
varia entre -2 e 2, e ao somar 1, a função
passará a variar entre:
- Mínimo:
- Máximo:
Portanto, a imagem da função é o intervalo
.
Passo 6
Vamos esboçar o gráfico:
- Eixo Central: Como temos uma translação vertical de +1, o eixo central da onda será em
. - Amplitude: A onda vai subir 2 unidades acima do eixo central e descer 2 unidades abaixo.
- Período: A onda completa uma oscilação a cada
unidades no eixo X.
Então, começando no ponto
,
. A onda irá subir até 3, descer até -1, e retornar a 1 ao completar cada
unidades.
Resposta
A função
tem período igual a
e imagem no intervalo
. O gráfico é uma senoide deslocada 1 unidade para cima e com amplitude 2.
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Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função
,
Construa os gráficos das seguintes funções, dê seu período e imagem.
a)
a)
Construa os seguintes gráficos, dê o período e imagem.
Resolva as equações: