Construa os gráficos das seguintes funções, dê o seu período e a imagem.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para construir o gráfico da função , além de determinar o período e a imagem dessa função. Vamos usar conceitos de funções trigonométricas, especificamente da função seno, e entender como algumas mudanças na equação afetam o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função seno. A função é uma função trigonométrica que oscila entre -1 e 1, formando uma curva conhecida como senoide. O gráfico dela é uma onda que se repete a cada unidades, que é o seu período padrão.

Passo 3

Agora, na nossa função , temos dois elementos que modificam o gráfico padrão do seno:
  1. Amplitude: O número que está multiplicando o seno, que no caso é 2. A amplitude determina o quanto a onda sobe e desce a partir do eixo central. Como a amplitude aqui é 2, a função vai oscilar entre -2 e 2.
  2. Translação Vertical: O número que está sendo somado, que aqui é 1. Isso significa que todo o gráfico da função vai subir 1 unidade no eixo Y. Assim, a onda que antes variava entre -2 e 2 agora vai variar entre -1 e 3.

Passo 4

Vamos determinar o período da função. O período é o intervalo em que a função completa uma oscilação completa. Para , o período é . Se tivéssemos uma função como , o período seria . No nosso caso, não há nenhum coeficiente dentro do seno além de 1, então o período continua sendo .

Passo 5

Agora, a imagem da função é o conjunto de todos os valores possíveis que a função pode assumir. Como vimos, varia entre -2 e 2, e ao somar 1, a função passará a variar entre:
  • Mínimo:
  • Máximo:
Portanto, a imagem da função é o intervalo .

Passo 6

Vamos esboçar o gráfico:
  1. Eixo Central: Como temos uma translação vertical de +1, o eixo central da onda será em .
  2. Amplitude: A onda vai subir 2 unidades acima do eixo central e descer 2 unidades abaixo.
  3. Período: A onda completa uma oscilação a cada unidades no eixo X.
Então, começando no ponto , . A onda irá subir até 3, descer até -1, e retornar a 1 ao completar cada unidades.

Resposta

A função tem período igual a e imagem no intervalo . O gráfico é uma senoide deslocada 1 unidade para cima e com amplitude 2.

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a)
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