Construa os seguintes gráficos, dê o período e imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente construir o gráfico da função
, além de determinar o período e a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o cosseno, e como alterações na função afetam seu gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da função
. Aqui, temos dois termos que modificam a função básica do cosseno:
- Amplitude: O número que está multiplicando o cosseno, que é 2. Isso significa que a função vai oscilar entre
para cima e para baixo a partir do valor central. - Deslocamento vertical: O número que está sendo somado, que é 1. Isso eleva todo o gráfico da função para cima no eixo Y.
Passo 3
Agora, vamos entender como esses componentes afetam o gráfico:
- Amplitude (
): A amplitude determina a altura das ondas do gráfico. No nosso caso, , então a função vai oscilar 2 unidades para cima e 2 unidades para baixo do ponto central. - Deslocamento vertical (
): O deslocamento vertical é , o que significa que todo o gráfico do cosseno básico será movido 1 unidade para cima.
Então, a função
vai ter seu ponto central em
, e oscilar de
até
.
Passo 4
Vamos determinar o período da função. O período é o tempo que a função leva para completar uma oscilação completa (um ciclo). A fórmula para o período de uma função cosseno é:
Onde
é o coeficiente de
. Na nossa função,
(já que não tem um número multiplicando o
). Então,
Portanto, o período é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de
. Como já vimos:
- O valor máximo é
( ) - O valor mínimo é
( )
Então, a imagem da função
é o intervalo de
a
.
Resposta
- Período:
- Imagem:
Exercícios relacionados
Construa os gráficos das seguintes funções, dê o seu período e a imagem.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função
,
Resolva as equações:
Reduza ao
quadrante:
a)
a)