Construa os seguintes gráficos, dê o período e imagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente construir o gráfico da função , além de determinar o período e a imagem dessa função. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o cosseno, e como alterações na função afetam seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da função . Aqui, temos dois termos que modificam a função básica do cosseno:
  • Amplitude: O número que está multiplicando o cosseno, que é 2. Isso significa que a função vai oscilar entre para cima e para baixo a partir do valor central.
  • Deslocamento vertical: O número que está sendo somado, que é 1. Isso eleva todo o gráfico da função para cima no eixo Y.

Passo 3

Agora, vamos entender como esses componentes afetam o gráfico:
  1. Amplitude ( ): A amplitude determina a altura das ondas do gráfico. No nosso caso, , então a função vai oscilar 2 unidades para cima e 2 unidades para baixo do ponto central.
  2. Deslocamento vertical ( ): O deslocamento vertical é , o que significa que todo o gráfico do cosseno básico será movido 1 unidade para cima.
Então, a função vai ter seu ponto central em , e oscilar de até .

Passo 4

Vamos determinar o período da função. O período é o tempo que a função leva para completar uma oscilação completa (um ciclo). A fórmula para o período de uma função cosseno é:
Onde é o coeficiente de . Na nossa função, (já que não tem um número multiplicando o ). Então,
Portanto, o período é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores possíveis de . Como já vimos:
  • O valor máximo é ( )
  • O valor mínimo é ( )
Então, a imagem da função é o intervalo de a .

Resposta

  • Período:
  • Imagem:

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Construa os gráficos das seguintes funções, dê o seu período e a imagem.
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos da função ,
Resolva as equações:
Reduza ao quadrante:
a)