Dizemos que um ponto é simétrico do ponto com respeito a quando . Em cada caso, determine o ponto simétrico de A com respeito a B : A=(1,3,-5) e B=(3,-1,2).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois pontos no espaço tridimensional: A = (1,3,-5) e B = (3,-1,2). A tarefa é encontrar o ponto P que é simétrico de A em relação a B, ou seja, tal que o vetor AB seja igual ao vetor BP. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e simetria no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o que significa AB = BP. Isso quer dizer que a direção e o módulo do vetor que vai de A a B são os mesmos do vetor que vai de B a P. Em outras palavras, para encontrar P, a partir de B, precisamos “continuar” o mesmo deslocamento que vai de A até B.
Passo 3
Vamos calcular o vetor AB:
AB = B - A = (3 - 1, -1 - 3, 2 - (-5)) = (2, -4, 7)
Isso significa que para ir de A a B, nos movemos 2 unidades na direção x, -4 na direção y e 7 na direção z.
Passo 4
Como BP = AB, para encontrar as coordenadas de P, basta somar as componentes do vetor AB ao ponto B:
P = B + AB = (3 + 2, -1 + (-4), 2 + 7) = (5, -5, 9)
Resposta
O ponto simétrico de A com respeito a B é P = (5, -5, 9).