Construa por meio de rotações e translações o gráfico das funções y = e^(-x + 2) + 2

Passo 1

Beleza, vamos construir o gráfico da função usando rotações e translações. Primeiro, vamos entender o que isso significa. Estamos lidando com uma função exponencial, que é uma das funções básicas em matemática. Para desenhar o gráfico dessa função, vamos começar com o gráfico da função exponencial padrão e aplicar algumas transformações para chegar à função que nos foi dada.

Passo 2

Vamos começar com o gráfico básico da função exponencial . Esse gráfico tem algumas características importantes:
  • Passa pelo ponto .
  • Está sempre acima do eixo , ou seja, .
  • Cresce rapidamente à medida que aumenta.
Aqui está um esboço do gráfico de :
Gráfico de y = e^x

Passo 3

Agora, vamos aplicar a primeira transformação: a reflexão em relação ao eixo . Na nossa função , o sinal negativo na frente do indica que vamos refletir o gráfico de em torno do eixo . Isso significa que o gráfico vai “virar de lado”.
Após a reflexão, a função fica . O novo gráfico passa pelo ponto e decresce à medida que aumenta.
Gráfico de y = e^{-x}

Passo 4

Em seguida, vamos aplicar uma translação horizontal. Na função , o termo dentro do expoente indica que vamos deslocar o gráfico para a esquerda. A regra geral para translação horizontal é , onde é a quantidade de deslocamento. No nosso caso, , então deslocamos o gráfico 2 unidades para a direita.
A função agora fica .
Gráfico de y = e^{-x + 2}

Passo 5

Por último, vamos aplicar uma translação vertical. O fora do exponencial na função indica que vamos deslocar todo o gráfico 2 unidades para cima. Isso significa que todos os pontos do gráfico serão elevados em 2 unidades.
Assim, o gráfico final da função está deslocado 2 unidades para cima em relação ao gráfico de .
Gráfico de y = e^{-x + 2} + 2

Resposta

O gráfico da função é obtido ao refletir o gráfico de em torno do eixo , deslocar 2 unidades para a direita e, por fim, mover o gráfico 2 unidades para cima. O resultado final é um gráfico da função exponencial decréscimo, posicionado conforme as transformações aplicadas.

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