Construa por meio de rotações e translações o gráfico das funções
Passo 1
Beleza, vamos construir o gráfico da função
usando rotações e translações. Primeiro, vamos entender o que isso significa. Estamos lidando com uma função exponencial, que é uma das funções básicas em matemática. Para desenhar o gráfico dessa função, vamos começar com o gráfico da função exponencial padrão
e aplicar algumas transformações para chegar à função que nos foi dada.
Passo 2
Vamos começar com o gráfico básico da função exponencial
. Esse gráfico tem algumas características importantes:
- Passa pelo ponto
. - Está sempre acima do eixo
, ou seja, . - Cresce rapidamente à medida que
aumenta.
Aqui está um esboço do gráfico de
:

Passo 3
Agora, vamos aplicar a primeira transformação: a reflexão em relação ao eixo
. Na nossa função
, o sinal negativo na frente do
indica que vamos refletir o gráfico de
em torno do eixo
. Isso significa que o gráfico vai “virar de lado”.
Após a reflexão, a função fica
. O novo gráfico passa pelo ponto
e decresce à medida que
aumenta.

Passo 4
Em seguida, vamos aplicar uma translação horizontal. Na função
, o termo
dentro do expoente indica que vamos deslocar o gráfico para a esquerda. A regra geral para translação horizontal é
, onde
é a quantidade de deslocamento. No nosso caso,
, então deslocamos o gráfico 2 unidades para a direita.
A função agora fica
.

Passo 5
Por último, vamos aplicar uma translação vertical. O
fora do exponencial na função
indica que vamos deslocar todo o gráfico 2 unidades para cima. Isso significa que todos os pontos do gráfico serão elevados em 2 unidades.
Assim, o gráfico final da função
está deslocado 2 unidades para cima em relação ao gráfico de
.

Resposta
O gráfico da função
é obtido ao refletir o gráfico de
em torno do eixo
, deslocar 2 unidades para a direita e, por fim, mover o gráfico 2 unidades para cima. O resultado final é um gráfico da função exponencial decréscimo, posicionado conforme as transformações aplicadas.