Encontre o domínio das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função
. Isso significa descobrir para quais valores de
a função está “valendo”, ou seja, está bem definida. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e funções raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que precisamos para que
esteja bem definida. A função está dividida em duas partes importantes:
- Logaritmo natural:
- Raiz quadrada no denominador:
Para que a função
exista, ambas as partes precisam ser válidas ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos começar com o logaritmo natural. A função
só está definida quando
. Então, para o nosso caso:
Vamos resolver essa desigualdade.
Passo 4
Fatorando a expressão
:
Agora, queremos encontrar quando
. Vamos analisar os intervalos determinados pelas raízes
,
e
.
Passo 5
Fazendo uma análise de sinais:
- Para
: Todos os três fatores são negativos, então o produto é negativo. - Entre
: Dois fatores são negativos e um positivo, então o produto é positivo. - Entre
: Um fator negativo e dois positivos, produto é negativo. - Para
: Todos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
Portanto,
quando:
Passo 6
Agora, vamos analisar a condição da raiz quadrada no denominador:
. A raiz quadrada está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero:
Além disso, como está no denominador, não pode ser igual a zero. Então:
Vamos resolver essa desigualdade.
Passo 7
Fatorando a expressão
:
Queremos
. Vamos analisar os intervalos determinados por
e
.
Passo 8
Analisando os sinais:
- Para
: Ambos os fatores são negativos, então o produto é positivo. - Entre
: Um fator é negativo e o outro positivo, então o produto é negativo. - Para
: Ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
Portanto,
quando:
Passo 9
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem ambas as condições:
Vamos verificar onde essas soluções se sobrepõem.
Passo 10
Analisando a interseção das duas condições:
-
Intervalo
: - Deve estar dentro de
ou - Aqui, só a parte
é relevante, mas não está dentro de . Então, esse intervalo não é válido.
- Deve estar dentro de
-
Intervalo
: - Deve estar dentro de
, o que é verdade. - Então, esse intervalo é válido.
- Deve estar dentro de
-
Intervalo
: - Não há sobreposição com
ou . - Então,
não é válido para a função.
- Não há sobreposição com
Resposta
O domínio da função
é:
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