Encontre o domínio das funções s(x) = ln(x^3 - 9 x) / raiz(x^2 + 16 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função . Isso significa descobrir para quais valores de a função está “valendo”, ou seja, está bem definida. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e funções raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que precisamos para que esteja bem definida. A função está dividida em duas partes importantes:
  1. Logaritmo natural:
  2. Raiz quadrada no denominador:
Para que a função exista, ambas as partes precisam ser válidas ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos começar com o logaritmo natural. A função só está definida quando . Então, para o nosso caso:
Vamos resolver essa desigualdade.

Passo 4

Fatorando a expressão :
Agora, queremos encontrar quando . Vamos analisar os intervalos determinados pelas raízes , e .

Passo 5

Fazendo uma análise de sinais:
  • Para : Todos os três fatores são negativos, então o produto é negativo.
  • Entre : Dois fatores são negativos e um positivo, então o produto é positivo.
  • Entre : Um fator negativo e dois positivos, produto é negativo.
  • Para : Todos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
Portanto, quando:

Passo 6

Agora, vamos analisar a condição da raiz quadrada no denominador: . A raiz quadrada está definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero:
Além disso, como está no denominador, não pode ser igual a zero. Então:
Vamos resolver essa desigualdade.

Passo 7

Fatorando a expressão :
Queremos . Vamos analisar os intervalos determinados por e .

Passo 8

Analisando os sinais:
  • Para : Ambos os fatores são negativos, então o produto é positivo.
  • Entre : Um fator é negativo e o outro positivo, então o produto é negativo.
  • Para : Ambos os fatores são positivos, então o produto é positivo.
Portanto, quando:

Passo 9

Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem ambas as condições:
Vamos verificar onde essas soluções se sobrepõem.

Passo 10

Analisando a interseção das duas condições:
  • Intervalo :
    • Deve estar dentro de ou
    • Aqui, só a parte é relevante, mas não está dentro de . Então, esse intervalo não é válido.
  • Intervalo :
    • Deve estar dentro de , o que é verdade.
    • Então, esse intervalo é válido.
  • Intervalo :
    • Não há sobreposição com ou .
    • Então, não é válido para a função.

Resposta

O domínio da função é:

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