Encontre a função inversa das funções, seus respectivos domínios e imagens.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função inversa de
, além de determinar os domínios e imagens das funções original e inversa. Vamos usar conceitos de funções inversas e propriedades do logaritmo natural para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar
de
para facilitar os cálculos:
Passo 3
Para encontrar a função inversa, precisamos isolar
. Começamos aplicando a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Passo 5
Substituímos
por
para obter a função inversa:
Passo 6
Vamos determinar os domínios e imagens:
-
Função original
: - Domínio: O argumento do logaritmo deve ser positivo:
- Imagem: Todos os números reais (
).
- Domínio: O argumento do logaritmo deve ser positivo:
-
Função inversa
: - Domínio: Todos os números reais (
), já que a função exponencial está definida para todo . - Imagem:
, que corresponde ao domínio da função original.
- Domínio: Todos os números reais (
Resposta
A função inversa de
é
.
- Domínio de
: - Imagem de
: Todos os números reais ( ) - Domínio de
: Todos os números reais ( ) - Imagem de
: