Encontre a função inversa das funções, seus respectivos domínios e imagens. u(x) = ln(2x + 6)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função inversa de , além de determinar os domínios e imagens das funções original e inversa. Vamos usar conceitos de funções inversas e propriedades do logaritmo natural para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar de para facilitar os cálculos:

Passo 3

Para encontrar a função inversa, precisamos isolar . Começamos aplicando a função exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:

Passo 4

Agora, isolamos :

Passo 5

Substituímos por para obter a função inversa:

Passo 6

Vamos determinar os domínios e imagens:
  • Função original :
    • Domínio: O argumento do logaritmo deve ser positivo:
    • Imagem: Todos os números reais ( ).
  • Função inversa :
    • Domínio: Todos os números reais ( ), já que a função exponencial está definida para todo .
    • Imagem: , que corresponde ao domínio da função original.

Resposta

A função inversa de é .
  • Domínio de :
  • Imagem de : Todos os números reais ( )
  • Domínio de : Todos os números reais ( )
  • Imagem de :

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